Средняя путевая скорость

Задача 1 Условие Муравей направился из вершины А куба, стоящего на горизонтальной поверхности, к вершине В (см. рис), перемещаясь только по рёбрам этого куба, причем движение по горизонтальным и вертикальным рёбрам обязательно чередовались, и он не побывал ни в какой вершине дважды. Скорость перемещения муравья по вертикальным ребрам вверх была равна $\vartheta$, вниз — $3\vartheta$, а по горизонтальным — он двигался с одинаковой скоростью $\vartheta_{x}$. Определите скорость муравья по горизонтальным рёбрам, если средняя скорость его движения от А к В не зависела от маршрута? Решение Пусть $a$ — сторона куба, $\vartheta_{ср1} = \vartheta_{ср1}$, $\vartheta_x = ?$. Рассмотрим два возможных маршрута. Маршрут 1 (3 ребра): Время движения: $$ t_1 = \frac{a}{\vartheta_{x}} + \frac{a}{\vartheta} + \frac{a}{\vartheta_{x}} = a\left(\frac{2}{\vartheta_{x}} + \frac{1}{\vartheta}\right) $$ Средняя скорость: $$ \vartheta_{ср1} = \frac{3a}{t_1} = \frac{3a}{a\left(\frac{2}{\vartheta_{x}} + \frac{1}{\vartheta}\right)} = \frac{3}{\frac{2}{\vartheta_{x}} + \frac{1}{\vartheta}} $$ Маршрут 2 (5 ребер): Время движения: $$ t_2 = \frac{a}{\vartheta} + \frac{a}{\vartheta_{x}} + \frac{a}{3\vartheta} + \frac{a}{\vartheta_{x}} + \frac{a}{\vartheta} = a\left(\frac{2}{\vartheta_{x}} + \frac{2}{\vartheta} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3\vartheta}\right) = a\left(\frac{2}{\vartheta_{x}} + \frac{7}{3\vartheta}\right) $$ Средняя скорость: $$ \vartheta_{ср2} = \frac{5a}{t_2} = \frac{5a}{a\left(\frac{2}{\vartheta_{x}} + \frac{7}{3\vartheta}\right)} = \frac{5}{\frac{2}{\vartheta_{x}} + \frac{7}{3\vartheta}} $$ По условию, $\vartheta_{ср1} = \vartheta_{ср2}$: $$\begin{aligned} \frac{3}{\frac{2}{\vartheta_{x}} + \frac{1}{\vartheta}} &= \frac{5}{\frac{2}{\vartheta_{x}} + \frac{7}{3\vartheta}} \\ 3\left(\frac{2}{\vartheta_{x}} + \frac{7}{3\vartheta}\right) &= 5\left(\frac{2}{\vartheta_{x}} + \frac{1}{\vartheta}\right) \\ \frac{6}{\vartheta_{x}} + \frac{21}{3\vartheta} &= \frac{10}{\vartheta_{x}} + \frac{5}{\vartheta} \\ \frac{6}{\vartheta_{x}} + \frac{7}{\vartheta} &= \frac{10}{\vartheta_{x}} + \frac{5}{\vartheta} \\ \frac{7}{\vartheta} - \frac{5}{\vartheta} &= \frac{10}{\vartheta_{x}} - \frac{6}{\vartheta_{x}} \\ \frac{2}{\vartheta} &= \frac{4}{\vartheta_{x}} \\ 2\vartheta_{x} &= 4\vartheta \\ \vartheta_{x} &= 2\vartheta \end{aligned}$$ Ответ $2\vartheta$. Задача 2 Условие Велосипед с колёсами, имеющими форму равностороннего треугольника (см. рис.), за время t прошёл по дороге достаточно большое расстояние s. Найдите среднее значение модуля скорости точки А, расположенной в вершине колеса. Колёса не проскальзывают по дороге, велосипед не отрывается от земли. Решение $$ средний модуль скорости = \frac{путь, пройденной точкой}{затраченное время} $$ Рассмотрим движение вершины колеса А на протяжении одного оборота В течение одного оборота вершина А описывает две дуги, каждая из которых составляет 1/3 целой окружности, и радиус дуги равен длине стороны колеса $a$. Таким образом за один оборот путь точки А составляет: $$ \frac{4\pi a}{3} $$ Т.к. за один оборот колесо смещается на расстояние $3a$, то $$ Количество оборотов = \frac{S}{3a} $$ $$ Весь путь = \frac{4\pi a}{3} \cdot \frac{S}{3a} $$ $$ Весь путь точки А = \frac{4\pi S}{9} $$ $$ \langle \vartheta_{А} \rangle = \frac{4\pi S}{9t} $$ Ответ $\frac{4\pi S}{9t}$.