Средняя путевая скорость

Задача 1

Условие

Муравей направился из вершины А куба, стоящего на горизонтальной поверхности, к вершине В (см. рис), перемещаясь только по рёбрам этого куба, причем движение по горизонтальным и вертикальным рёбрам обязательно чередовались, и он не побывал ни в какой вершине дважды. Скорость перемещения муравья по вертикальным ребрам вверх была равна \vartheta , вниз — 3\vartheta , а по горизонтальным — он двигался с одинаковой скоростью \vartheta_{x} . Определите скорость муравья по горизонтальным рёбрам, если средняя скорость его движения от А к В не зависела от маршрута?

1 Решение

2 Пусть a — сторона куба, \vartheta_{ср1} = \vartheta_{ср1} , \vartheta_x = ? . Рассмотрим два возможных маршрута.

Маршрут 1 (3 ребра): Время движения: t_1 = \frac{a}{\vartheta_{x}} + \frac{a}{\vartheta} + \frac{a}{\vartheta_{x}} = a\left(\frac{2}{\vartheta_{x}} + \frac{1}{\vartheta}\right) Средняя скорость: \vartheta_{ср1} = \frac{3a}{t_1} = \frac{3a}{a\left(\frac{2}{\vartheta_{x}} + \frac{1}{\vartheta}\right)} = \frac{3}{\frac{2}{\vartheta_{x}} + \frac{1}{\vartheta}}

Маршрут 2 (5 ребер): Время движения: t_2 = \frac{a}{\vartheta} + \frac{a}{\vartheta_{x}} + \frac{a}{3\vartheta} + \frac{a}{\vartheta_{x}} + \frac{a}{\vartheta} = a\left(\frac{2}{\vartheta_{x}} + \frac{2}{\vartheta} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3\vartheta}\right) = a\left(\frac{2}{\vartheta_{x}} + \frac{7}{3\vartheta}\right) Средняя скорость: \vartheta_{ср2} = \frac{5a}{t_2} = \frac{5a}{a\left(\frac{2}{\vartheta_{x}} + \frac{7}{3\vartheta}\right)} = \frac{5}{\frac{2}{\vartheta_{x}} + \frac{7}{3\vartheta}}

По условию, \vartheta_{ср1} = \vartheta_{ср2} : \begin{aligned}

\frac{3}{\frac{2}{\vartheta_{x}} + \frac{1}{\vartheta}} &= \frac{5}{\frac{2}{\vartheta_{x}} + \frac{7}{3\vartheta}} \\

3\left(\frac{2}{\vartheta_{x}} + \frac{7}{3\vartheta}\right) &= 5\left(\frac{2}{\vartheta_{x}} + \frac{1}{\vartheta}\right) \\

\frac{6}{\vartheta_{x}} + \frac{21}{3\vartheta} &= \frac{10}{\vartheta_{x}} + \frac{5}{\vartheta} \\

\frac{6}{\vartheta_{x}} + \frac{7}{\vartheta} &= \frac{10}{\vartheta_{x}} + \frac{5}{\vartheta} \\

\frac{7}{\vartheta} - \frac{5}{\vartheta} &= \frac{10}{\vartheta_{x}} - \frac{6}{\vartheta_{x}} \\

\frac{2}{\vartheta} &= \frac{4}{\vartheta_{x}} \\

2\vartheta_{x} &= 4\vartheta \\

\vartheta_{x} &= 2\vartheta

\end{aligned}

Ответ 2\vartheta .

Задача 2

Условие

Велосипед с колёсами, имеющими форму равностороннего треугольника (см. рис.), за время t прошёл по дороге достаточно большое расстояние s. Найдите среднее значение модуля скорости точки А, расположенной в вершине колеса. Колёса не проскальзывают по дороге, велосипед не отрывается от земли.

4 Решение

средний модуль скорости = \frac{путь, пройденной точкой}{затраченное время} Рассмотрим движение вершины колеса А на протяжении одного оборота

5 В течение одного оборота вершина А описывает две дуги, каждая из которых составляет 1/3 целой окружности, и радиус дуги равен длине стороны колеса a . Таким образом за один оборот путь точки А составляет: \frac{4\pi a}{3} Т.к. за один оборот колесо смещается на расстояние 3a , то Количество оборотов = \frac{S}{3a} Весь путь = \frac{4\pi a}{3} \cdot \frac{S}{3a} Весь путь точки А = \frac{4\pi S}{9} \langle \vartheta_{А} \rangle = \frac{4\pi S}{9t}

Ответ \frac{4\pi S}{9t} .