Средняя путевая скорость Часть 3

Задача 14 Условие Летние каникулы Леня провел в деревне у бабушки и часто ходил на озеро ловить рыбу. Первая половина пути от дома бабушки до озера проходит по проселочной дороге, вторая — по лесной. Обычно первую половину времени Леня шел с постоянной скоростью, модуль которой $\vartheta_1 = 4,0$ км/ч, остальное время — с постоянной скоростью, модуль которой $\vartheta_2 = 2,0$ км/ч. Чему равна средняя скорость ($\langle \vartheta \rangle$) движения Лени (в м/мин) по лесной дороге? Решение Пусть весь путь от дома до озера $2S$ А) Пусть $t$ - половина времени движения Б) Объединим оба рисунка Теория А) если путь делится на равные участки $S$: $$ \langle \vartheta \rangle = \frac{S}{\frac{S}{2\vartheta_1} + \frac{S}{2\vartheta_2}} = \frac{2\vartheta_1\vartheta_2}{\vartheta_1+\vartheta_2}$$ Б) если время делится на равные участки $t$: $$ \langle \vartheta \rangle = \frac{\vartheta_1 \frac{t}{2} + \vartheta_2 \frac{t}{2}}{t} = \frac{\vartheta_1+\vartheta_2}{2}$$ 1) За первую половину времени он прошел больше, т.к. двигался с большей скоростью, т.е. он прошел всю проселочную и часть лесной дороги. 2) Исходя из условия можно записать, что общий путь $2S$ (где $S$ - половина пути) равен: $$2S = \vartheta_1 t + \vartheta_2 t \quad (1)$$ 3) тогда $$S = \frac{\vartheta_1 t + \vartheta_2 t}{2} = \frac{t(\vartheta_1 + \vartheta_2)}{2}$$ 4) Кроме того, путь по лесной дороге $S$ состоит из двух частей. $$S_2 = \vartheta_2 t \quad и \quad S = S_1 + S_2$$ Время прохождения $S_2$ - это вторая половина времени t $$S_1 = S - S_2 = \frac{\vartheta_1 t + \vartheta_2 t}{2} - \vartheta_2 t$$ $$S_1 = S - S_2 = \frac{\vartheta_1 t - \vartheta_2 t}{2}$$ Время прохождения $$S_1 \rightarrow \tau_1$$ $$\tau_1 = \frac{S_1}{\vartheta_1} = \frac{\vartheta_1 t - \vartheta_2 t}{2 \vartheta_1}$$ Общее время по лесной дороге: $$ \tau = \tau_1 + t = \frac{\vartheta_1 t - \vartheta_2 t}{2\vartheta_1} + \frac{2\vartheta_1}{2\vartheta_1}t = \frac{\vartheta_1 t - \vartheta_2 t + 2\vartheta_1 t}{2\vartheta_1} = \frac{3\vartheta_1 t - \vartheta_2 t}{2\vartheta_1}$$ Средняя скорость на лесной дороге: $$ \langle \vartheta_{ср.лес} \rangle = \frac{S}{\tau} = \frac{\frac{(\vartheta_1 + \vartheta_2)t}{2}}{\frac{(3\vartheta_1 - \vartheta_2)t}{2\vartheta_1}} = \frac{(\vartheta_1 + \vartheta_2)\vartheta_1}{3\vartheta_1 - \vartheta_2} $$ $$ \langle \vartheta_{ср.лес} \rangle = \frac{(4+2)\cdot 4}{3\cdot 4 - 2} = \frac{24}{10} = 2,4 \frac{км}{ч} $$ Переведем в м/мин: $$ 2,4 \frac{км}{ч} = \frac{2400 м}{60 мин} = 40 \frac{м}{мин} $$ Ответ 40 м/мин. Задача 15 Условие Соревновательная трасса для робота состоит из двух участков, на одном из которых («медленном») он движется с меньшей скоростью, на другом («быстром») — с большей. Известно, что длина «быстрого» участка в два раза больше, чем длина «медленного». Во время первого прохождения средняя скорость робота на трассе равнялась 2,5 м/с. При втором прохождении средняя скорость робота на «медленном» участке возросла в 1,1 раза, а на «быстром» — во столько же раз уменьшилась. Оказалось, что средняя скорость на всей трассе осталась той же. Чему равнялась средняя скорость робота на «быстром» участке при первом прохождении трассы? Решение 1) Первое прохождение. Пусть длина медленного участка $l$, а быстрого $2l$. $$ \langle \vartheta_{ср1} \rangle = \frac{3l}{\frac{l}{\vartheta_1} + \frac{2l}{\vartheta_2}} = \frac{3}{\frac{1}{\vartheta_1} + \frac{2}{\vartheta_2}} = \frac{3\vartheta_1\vartheta_2}{\vartheta_2+2\vartheta_1}$$ 2) Второе прохождение. Скорости изменяются: $\vartheta_1' = 1,1\vartheta_1$ и $\vartheta_2' = \vartheta_2/1,1$. $$ \langle \vartheta_{ср2} \rangle = \frac{3l}{\frac{l}{1,1\vartheta_1} + \frac{2l\cdot 1.1}{\vartheta_2}} = \frac{3}{\frac{10}{11\vartheta_1} + \frac{22}{10\vartheta_2}} = \frac{3}{\frac{100\vartheta_2+242\vartheta_1}{110\vartheta_1\vartheta_2}} = \frac{330\vartheta_1\vartheta_2}{100\vartheta_2 + 242\vartheta_1}$$ Поскольку средние скорости равны, $\langle \vartheta_{ср1} \rangle = \langle \vartheta_{ср2} \rangle$: $$\begin{aligned} \frac{3\vartheta_1\vartheta_2}{\vartheta_2+2\vartheta_1} &= \frac{330\vartheta_1\vartheta_2}{100\vartheta_2+242\vartheta_1} \\ \frac{1}{\vartheta_2+2\vartheta_1} &= \frac{110}{100\vartheta_2+242\vartheta_1} \\ 100\vartheta_2+242\vartheta_1 &= 110(\vartheta_2+2\vartheta_1) \\ 100\vartheta_2+242\vartheta_1 &= 110\vartheta_2+220\vartheta_1 \\ 242\vartheta_1 - 220\vartheta_1 &= 110\vartheta_2 - 100\vartheta_2 \\ 22\vartheta_1 &= 10\vartheta_2 \\ 11\vartheta_1 &= 5\vartheta_2 \\ \vartheta_1 &= \frac{5\vartheta_2}{11} \end{aligned}$$ Т.к. по условию средняя скорость на первом прохождении была 2,5 м/с: $$ \langle \vartheta_{ср1} \rangle = \frac{3\vartheta_1\vartheta_2}{\vartheta_2+2\vartheta_1} = 2,5 $$ Подставим в это уравнение найденное соотношение для $\vartheta_1$: $$\begin{aligned} 3\vartheta_1\vartheta_2 &= 2,5(\vartheta_2+2\vartheta_1) \\ 3 \cdot \left( \frac{5\vartheta_2}{11} \right) \vartheta_2 &= 2,5\vartheta_2 + 2,5 \cdot 2\left( \frac{5\vartheta_2}{11}...