Сообщающиеся сосуды

Задача 3

Условие

Один из двух одинаковых сосудов высотой H = 72 мм заполнен водой до высоты h = 54 мм , а другой — керосином на такую же высоту. Сверху в жидкости опущена П-образная тонкая трубка, заполненная водой и снабженная краном К. Открытые концы трубки погружены на одинаковую глубину h_1 = h_2 = 2h_0 , в жидкости. На каких высотах от дна установятся уровни жидкости в сосудах, если открыть кран К? Плотность воды \rho_{в} = 1,0 г/см^3 . Плотность керосина \rho_{к} = 0,8 г/см^3 .

15 Решение

Давление у открытых концов п-образной трубки разные, т.к. плотности жидкостей разные. Если открыть кран, то вода будет переливаться в сосуд с керосином, там она будет опускаться на дно и достигнет высоты h_B . Предположим, что h_B < h_0 , где h_0 = H - h = 18 мм . Тогда гидростатические давления на уровне открытых концов трубки: P_1 = \rho_{в} g (2h_0 - h_{в}) P_2 = \rho_{к} g (2h_0 + h_{в}) Переливание воды прекратится, если P_1 = P_2 : \rho_{в} 2h_0 - \rho_{в} h_{в} = \rho_{к} 2h_0 + \rho_{к} h_{в} 2h_0 (\rho_{в} - \rho_{к}) = h_{в} (\rho_{в} + \rho_{к}) h_{в} = \frac{2h_0(\rho_{в} - \rho_{к})}{\rho_{к} + \rho_{в}} h_{в} = \frac{2h_0 \cdot 200}{1800} = \frac{2h_0}{9} < h_0 — \text {наше предположение верное}

Уровень воды в керосине не поднимется выше открытого конца трубки и керосин не начнет выливаться из сосуда.

Окончательно:

1. Высота слоя воды в левом сосуде: H_1 = 3h_0 - h_{в} = 3h_0 - \frac{2h_0}{3} = \frac{25h_0}{9} = \frac{25 \cdot 18 мм}{9} = 50 мм 2. Общая высота двух слоев в правом сосуде: H_2 = 3h_0 + h_{в} = 3h_0 + \frac{2h_0}{9} = \frac{29h_0}{9} = 28 \cdot 2 \approx 58 мм

Ответ 50 мм; 58 мм.

Задача 4

Условие

В два одинаковых сообщающихся сосуда налита вода. В левый сосуд положили ледяной кубик весом P = 0,72 Н , и вода стала перетекать в правый сосуд. Когда половина воды, вытесненной кубиком, перетекла в правый сосуд, кубик оказался наполовину погруженным в воду. Через некоторое время лед начал таять. Какая масса воды перетечет в правый сосуд за время таяния льда? Плотность воды \rho_0 = 1,0 г/см^3 . Плотность льда \rho = 0,9 г/см^3 . Коэффициент g = 10 Н/кг .

16 Решение

1. Если закрыть кран между левым и правым сосудами: m_{л} = \frac{0,72}{10} = 0,072 кг = 72 г V_{л} = \frac{m_{л}}{\rho_{л}} = \frac{72г}{0,9 г/см^3} = 80 см^3 То после погружения льда в левом сосуде объем воды увеличится на \frac{V_{л}}{2} . Половина воды осталась в левом ( \frac{V_{л}}{4} ), если бы кран был открыт, то половина воды перелилась бы в правый ( \frac{V_{л}}{4} ). По массе это: \Delta m_{воды} = \frac{\rho_{в} V_{л}}{4} = 20 г

2. Если закрыть кран между сосудами и не погружая лед, сразу его превратить в воду, тогда масса воды в левом увеличится на массу льда: m_{л} = \frac{P}{g} = 0,072 кг = 72 г После открытия крана половина воды перетечет в правый сосуд и это 36 г, и половина останется в левом 36 г. Т.к. уровни однородной жидкости в сообщающихся сосудах должны совпадать.

3. Но мы сначала погрузили \to перетекло 20 г, а всего с учетом таяния должно перетечь 36 г. Значит за время таяния перетечет: \Delta m = 36 г - 20 г = 16 г

Ответ 16 г.