Сообщающиеся сосуды

Задача 2

Условие

Имеется сосуд, заполненный водой и закрытый двумя поршнями площадью S_1 = 150 см^2 и S_2 = 75 см^2 , верхний из которых очень легкий, а нижний имеет массу m = 1 кг . Поршни связаны пружиной с жесткостью k = 50 Н/м . Найдите удлинение пружины в положении равновесия системы, если в нерастянутом состоянии ее длина пренебрежимо мала. Атмосферное давление p_0 = 100 кПа .

11 Решение

12 1) Рассмотрим условия, необходимые для равновесия системы. Чтобы система оставалась в покое, векторная сумма всех сил, действующих на каждый элемент системы должна равняться нулю.

2) Найдём все силы, действующие на верхний поршень:

13 Сила давления = разности давлений с нижней и верхней сторон поршня умноженную на площадь. P — давление над поршнем P_0 — давление под поршнем Тогда F_{давл на верх порш} = (P_0 - P) \cdot S_2 F_{упр} = k \ell Тогда F_{упр} = F_{давл} - усл. равновесия k \ell = (P_0 - P) \cdot S_2 \quad (1) (P_0 - P) = \frac{k \ell}{S_2} 3)Силы, действующие на нижний поршень:

14 F_{давл} = (P_0 - (P + \rho g \ell)) \cdot S_1 F_{упр} = k \ell F_{давл} + mg = F_{упр} - усл. равновесия (P_0 - P - \rho g \ell) \cdot S_1 + mg = k \ell \quad (2) (P_0 - P) \cdot S_1 - \rho g \ell \cdot S_1 + mg = k \ell \frac{k \ell S_1}{S_2} - \rho g \ell S_1 + mg = k \ell mg = \ell \left( k - \frac{kS_1}{S_2} + \rho g S_1 \right) \ell = \frac{mg}{k - k\frac{S_1}{S_2} + \rho g S_1} \ell = \frac{10}{50 - 50 \cdot 2 + 1000 \cdot 10 \cdot 150 \cdot 10^{-4}} = \frac{10}{100} = 0,1 м

Ответ 10 см.