Сообщающиеся сосуды

Задача 1

Условие

В сообщающихся сосудах с вертикальными стенками находится вода. Внутри левого сосуда находится подвешенный на лёгкой пружине металлический кубик, причём его нижнее основание касается поверхности воды. В тот же сосуд аккуратно налили 93 см ^3 керосина, причём верхняя поверхность керосина оказалась вровень с верхней гранью кубика. Определите жёсткость пружины, если площадь поперечного сечения каждого сосуда равна 20 см ^2 , а ребро кубика имеет длину a = 3 см. Плотность керосина равна 800 кг/м ^3 , плотность воды — 1000 кг/м ^3 , плотность металла больше плотностей обеих жидкостей. Керосин в правый сосуд не переливается и наружу не выливается. Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с ^2 .

9 Решение

10 1) В результате наливания керосина в левый сосуд кубик оказался полностью в него погружённым. На кубик дополнительно действует сила Архимеда F_A , сокращающая его первоначальное растяжение пружины.

Пусть: \Delta x – изменение длины пружины по сравнению с наливным состоянием; k – жёсткость; h_B – высота, на которую поднимется уровень воды в правом сосуде.

Так как S_1 = S_2 = S , то в левом сосуде уровень воды опустился на столько же. Высота слоя керосина: h_k = \Delta x + a + h_B \quad (1) Из условия равенства давлений на уровне нижней границы керосина: \rho_k g h_k = \rho_B g 2h_B \to h_B = \left( \frac{\rho_k h_k}{2 \rho_B} \right) = \frac{800 h_k}{2000} h_B = 0,4 h_k

Объём керосина: V_k = S h_k - a^3 \to h_k = \frac{V_k + a^3}{S} h_k = \frac{93 см^3 + 27 см^3}{20 см^2} = 6 см h_B = 0,4 \cdot 6 см = 2,4 см

Из (1): \Delta x = h_k - a - h_B \Delta x = 6 см - 2,4 см - 3 см = 0,6 см

Так как k x_1 = mg k x_2 + F_A = mg k x_2 + F_A = k x_1 \implies F_A = k(x_1 - x_2) \implies F_A = k \Delta x \rho_k g a^3 = k \Delta x k = \frac{\rho_k g a^3}{\Delta x} = \frac{800 \frac{кг}{м^3} \cdot 10 \frac{Н}{кг} \cdot 27 \cdot 10^{-6} м^3}{0,6 \cdot 10^{-2} м} = 36 \frac{Н}{м}

Ответ 36 Н/м.