Сила Архимеда

Задача 1

Условие

Однажды поваренок Рататуй получил задание сварить кисель на большую компанию. Он замешал некоторое количества густого киселя (жидкость А) в прямоугольном сосуде. Взглянув в кастрюлю, он понял, что кисель получается слишком густым, и залил его в два раза большим объемом воды (В). Жидкости имеют разные плотности и не смешиваются. После этого, нагнувшись над кастрюлей, он случайно уронил туда мобильник, который начал плавать на границе раздела жидкостей. Пока поваренок безуспешно пытался вытащить телефон, кисель е водой смешались; общий объем жидкости не изменился. Герметичный телефон, имеющий форму параллелепипеда, остался плавать на том же месте. Определите, какая часть телефона находилась в киселе до смешивания жидкостей.

5 Решение

6 а) До смешивания V_K + V_B = 3V_K . Условие плавания: (1) \quad F_T = \rho_K \cdot g \cdot V_1 + \rho_B \cdot g \cdot V_2 V = V_1 + V_2

б) После смешивания Общая масса жидкостей: M = \rho_K \cdot V_K + \rho_B \cdot 2V_K Общий объём: 3V_K . Новая плотность: \rho_{см} = \frac{\rho_K \cdot V_K + \rho_B \cdot 2V_K}{3V_K} \rho_{см} = \frac{\rho_K + 2\rho_B}{3} Условие плавания: (2) \quad F_T = \rho_{см} \cdot g \cdot V

Из (1) и (2): \rho_K \cdot g \cdot V_1 + \rho_B \cdot V_2 = \rho_{см} g V \rho_K \cdot V_1 + \rho_B \cdot V_2 = \frac{\rho_K + 2\rho_B}{3} \cdot V \rho_K \cdot V_1 + \rho_B (V - V_1) = \frac{\rho_K \cdot V}{3} + \frac{2\rho_B \cdot V}{3} \rho_K \cdot V_1 + \rho_B \cdot V - \rho_B \cdot V_1 = \frac{\rho_K \cdot V}{3} + \frac{2\rho_B \cdot V}{3} V_1 (\rho_K - \rho_B) = \frac{\rho_K \cdot V}{3} + \frac{2\rho_B \cdot V}{3} - \frac{3\rho_B \cdot V}{3} V_1 (\rho_K - \rho_B) = \frac{\rho_K \cdot V}{3} - \frac{\rho_B \cdot V}{3} V_1 (\rho_K - \rho_B) = V \cdot \frac{\rho_K - \rho_B}{3} V_1 = \frac{V}{3} \implies \frac{V_1}{V} = \frac{1}{3}

Ответ \frac{1}{3} .

Задача 2

Условие

Экспериментатор Глюк проводил опыт по погружению кубика, изготовленного из неизвестного материала в жидкость неизвестной плотности. В таблицу он занёс показания динамометра, соответствующие различным глубинам погружения кубика. Некоторые значения силы он забыл и не стал их вносить в таблицу. По результатам измерений определите плотность кубика и плотность жидкости.

h , см

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

F , Н

8,74

8.09

4,84

4,19

3,93

3,93

7 Решение

1) При равномерном погружении кубика: F_1 = \rho_{ж} g S h_1 F_2 = \rho_{ж} g S h_2 F_1 - F_2 = \rho_{ж} g S (h_1 - h_2) \frac{F_1 - F_2}{h_2 - h_1} = \rho_{ж} g S \frac{(h_2 - h_1)}{(F_1 - F_2)} = \frac{(h'_2 - h'_1)}{(F'_1 - F'_2)} \frac{(1 - 0)}{(8,74 - 8,09)} = \frac{(h'_2 - 7)}{(4,19 - 3,93)} \frac{1}{0,65} = \frac{(h'_2 - 7)}{0,26} h'_2 - 7 = 0,4 \to h'_2 = 7,4 см На этой глубине кубик оказался погружен полностью. Значит a = 7,4 см — его сторона, V = a^3 — объём кубика.

2) F_{воздух} = 8,74 Н \quad(при \quad h_1 = 0) = mg = \rho_{вещ} \cdot a^3 g \rho_{вещ} = \frac{F_{в воздухе}}{g \cdot a^3} = \frac{8,74 Н}{9,8 \cdot (7,4 \cdot 10^{-2})^3} = 2200 \frac{кг}{м^3} — \text{плотность вещества}

3) При полном погружении кубика: F_A = F_{воздух} - F_{полноепогруж} = 8,74 - 3,93 = 4,81 Н F_A = \rho_{ж} \cdot g \cdot a^3 \rho_{ж} = \frac{F_A}{g \cdot a^3} = \frac{4,81 Н}{9,8 \cdot (7,4 \cdot 10^{-2})^3} = 1211 кг/м^3 = 1,2 г/см^3

Ответ 2,2 \frac{г}{см^3} ; 1,2 \frac{г}{см^3} .