Сила Архимеда

Задача 1 Условие Однажды поваренок Рататуй получил задание сварить кисель на большую компанию. Он замешал некоторое количества густого киселя (жидкость А) в прямоугольном сосуде. Взглянув в кастрюлю, он понял, что кисель получается слишком густым, и залил его в два раза большим объемом воды (В). Жидкости имеют разные плотности и не смешиваются. После этого, нагнувшись над кастрюлей, он случайно уронил туда мобильник, который начал плавать на границе раздела жидкостей. Пока поваренок безуспешно пытался вытащить телефон, кисель е водой смешались; общий объем жидкости не изменился. Герметичный телефон, имеющий форму параллелепипеда, остался плавать на том же месте. Определите, какая часть телефона находилась в киселе до смешивания жидкостей. Решение а) До смешивания $V_K + V_B = 3V_K$. Условие плавания: $$ (1) \quad F_T = \rho_K \cdot g \cdot V_1 + \rho_B \cdot g \cdot V_2 $$ $$ V = V_1 + V_2 $$ б) После смешивания Общая масса жидкостей: $$ M = \rho_K \cdot V_K + \rho_B \cdot 2V_K $$ Общий объём: $3V_K$. Новая плотность: $$ \rho_{см} = \frac{\rho_K \cdot V_K + \rho_B \cdot 2V_K}{3V_K} $$ $$ \rho_{см} = \frac{\rho_K + 2\rho_B}{3} $$ Условие плавания: $$ (2) \quad F_T = \rho_{см} \cdot g \cdot V $$ Из (1) и (2): $$ \rho_K \cdot g \cdot V_1 + \rho_B \cdot V_2 = \rho_{см} g V $$ $$ \rho_K \cdot V_1 + \rho_B \cdot V_2 = \frac{\rho_K + 2\rho_B}{3} \cdot V $$ $$ \rho_K \cdot V_1 + \rho_B (V - V_1) = \frac{\rho_K \cdot V}{3} + \frac{2\rho_B \cdot V}{3} $$ $$ \rho_K \cdot V_1 + \rho_B \cdot V - \rho_B \cdot V_1 = \frac{\rho_K \cdot V}{3} + \frac{2\rho_B \cdot V}{3} $$ $$ V_1 (\rho_K - \rho_B) = \frac{\rho_K \cdot V}{3} + \frac{2\rho_B \cdot V}{3} - \frac{3\rho_B \cdot V}{3} $$ $$ V_1 (\rho_K - \rho_B) = \frac{\rho_K \cdot V}{3} - \frac{\rho_B \cdot V}{3} $$ $$ V_1 (\rho_K - \rho_B) = V \cdot \frac{\rho_K - \rho_B}{3} $$ $$ V_1 = \frac{V}{3} \implies \frac{V_1}{V} = \frac{1}{3} $$ Ответ $\frac{1}{3}$. Задача 2 Условие Экспериментатор Глюк проводил опыт по погружению кубика, изготовленного из неизвестного материала в жидкость неизвестной плотности. В таблицу он занёс показания динамометра, соответствующие различным глубинам погружения кубика. Некоторые значения силы он забыл и не стал их вносить в таблицу. По результатам измерений определите плотность кубика и плотность жидкости. $h$, см 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $F$, Н 8,74 8.09 4,84 4,19 3,93 3,93 Решение 1) При равномерном погружении кубика: $$ F_1 = \rho_{ж} g S h_1 $$ $$ F_2 = \rho_{ж} g S h_2 $$ $$ F_1 - F_2 = \rho_{ж} g S (h_1 - h_2) $$ $$ \frac{F_1 - F_2}{h_2 - h_1} = \rho_{ж} g S $$ $$ \frac{(h_2 - h_1)}{(F_1 - F_2)} = \frac{(h'_2 - h'_1)}{(F'_1 - F'_2)} $$ $$ \frac{(1 - 0)}{(8,74 - 8,09)} = \frac{(h'_2 - 7)}{(4,19 - 3,93)} $$ $$ \frac{1}{0,65} = \frac{(h'_2 - 7)}{0,26} $$ $$ h'_2 - 7 = 0,4 \to h'_2 = 7,4 см $$ На этой глубине кубик оказался погружен полностью. Значит $a = 7,4 см$ — его сторона, $V = a^3$ — объём кубика. 2) $$ F_{воздух} = 8,74 Н (при h_1 = 0) = mg = \rho_{вещ} \cdot a^3 g $$ $$ \rho_{вещ} = \frac{F_{в воздухе}}{g \cdot a^3} = \frac{8,74 Н}{9,8 \cdot (7,4 \cdot 10^{-2})^3} = 2200 \frac{кг}{м^3} — плотность вещества $$ 3) При полном погружении кубика: $$ F_A = F_{воздух} - F_{полноепогруж} = 8,74 - 3,93 = 4,81 Н $$ $$ F_A = \rho_{ж} \cdot g \cdot a^3 $$ $$ \rho_{ж} = \frac{F_A}{g \cdot a^3} = \frac{4,81 Н}{9,8 \cdot (7,4 \cdot 10^{-2})^3} = 1211 кг/м^3 = 1,2 г/см^3 $$ Ответ 2,2 $\frac{г}{см^3}$; 1,2 $\frac{г}{см^3}$.