Разные задачи

Задача 6.12 Условие Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе в несколько туров: если в туре участвует чётное число игроков, то они разбиваются на случайные игровые пары. Если число игроков нечётно, то с помощью жребия выбираются случайные игровые пары, а один игрок остаётся без пары и не участвует в туре. Проигравший в каждой паре (ничья невозможна) выбывает из турнира, а победители и игрок без пары, если он есть, выходят в следующий тур, который проводится по таким же правилам. Так продолжается до тех пор, пока не останутся двое, которые играют между собой финальный тур, то есть последнюю партию, которая выявляет победителя турнира. Всего в турнире участвует 10 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга - Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придется сыграть друг с другом? Решение В данной задаче количество игроков не является степенью двойки, а значит в каком-то туре обязательно будет нечетное количество игроков, и один из них, не участвуя в этом туре в играх, автоматически пройдет в следующий тур. Всего на турнире пройдут 4 тура: в первом туре 10 игроков - 5 пар, во втором - 5 игроков (2 пары и 1 игрок пройдет дальше без игры), в третьем - 3 игрока (1 пара и 1 игрок пройдет дальше без игры), в четвертом - 2 игрока (финал). Вероятность того, что Иван с Алексеем сыграют друг с другом в первом туре, равна $$P(1)=\frac{1}{9}.$$ Чтобы сыграть друг с другом во втором туре, им нужно не сыграть друг с другом в первом туре (с вероятностью $\frac{8}{9}$), обоим победить (с вероятностью $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}$) и, пройдя во второй тур, в котором останется 5 игроков, обоим принять участие в играх в этом туре (с вероятностью $\frac{3}{5}$ будет отдыхать любой из других трех игроков, кроме двух друзей) и сыграть друг с другом (с вероятностью $\frac{1}{3}$). Тогда вероятность того, что Иван с Алексеем сыграют друг с другом во втором туре, равна $$P(2)=\frac{8}{9}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{45}.$$ Если они не сыграли друг с другом ни в первом, ни во втором туре, то чтобы пройти в третий тур и, возможно, сыграть друг с другом там, они могут либо сыграть оба во втором туре, но не друг против друга (с вероятностью $ \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{3}$) и затем оба победить во втором туре (с вероятностью $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}$), либо один из них сыграет во втором туре и выиграет, а второй будет отдыхать и пройдет в третий тур без игры (это произойдет с вероятностью $ \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{2}$). Пройдя в третий тур, в котором останется 3 игрока, чтобы сыграть друг сдругом, им нужно обоим принять участие в играх в этом туре (с вероятностью $\frac{1}{3}$ будет отдыхать третий игрок). Тогда вероятность того, что Иван с Алексеем сыграют друг с другом в третьем туре, равна $$P(3)=\frac{8}{9}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} \left( \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{3} \cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{2} \right)\cdot \frac{1}{3} \cdot 1=\frac{1}{45}.$$ Если они оба окажутся в третьем туре и не будут играть друг с другом, то пройти оба в четвертый тур они могут только одним способом: один из них будет играть и победит, а второй будет отдыхать и пройдет дальше без игры. Тогда вероятность того, что Иван с Алексеем сыграют друг с другом в четвертом туре, равна $$P(4)=\frac{8}{9}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} \left( \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{3} \cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{2} \right)\cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{45}.$$ Тогда искомая вероятность $$P=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)=\frac{1}{9}+\frac{2}{45}+\frac{1}{45}+\frac{1}{45}=\frac{1}{5}=0,2.$$ Ответ $0,2$.