Разные задачи

Задача 6.9 Условие Чтобы поступить в институт на специальность <<Лингвистика>>, абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов - математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность <<Коммерция>>, нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов - математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку? - 0,8, по иностранному языку? - 0,7 и по обществознанию - 0,5. Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей. Решение Поскольку абитуриент может сдать или не сдать экзамены по отдельным предметам независимо друг отдруга, вероятность поступить на специальность <<Лингвистика>> равна $$P(\text{Л})=P(\text{М})\cdot P(\text{Р})\cdot P(\text{ин})=0,6 \cdot 0,8 \cdot 0,7,$$ вероятность поступить на специальность <<Коммерция>> $$P(\text{К})=P(\text{М})\cdot P(\text{Р})\cdot P(\text{общ})=0,6 \cdot 0,8 \cdot 0,5,$$ а на обе специальности $$P(\text{Л}\cap \text{К})=P(\text{М})\cdot P(\text{Р})\cdot P(\text{ин}) \cdot P(\text{общ})=0,6 \cdot 0,8 \cdot 0,7 \cdot 0,5.$$ Применим формулу сложения вероятностей: $$P(\text{Л}\cup \text{К})=P(\text{Л})+P(\text{К})-P(\text{Л}\cap \text{К})=0,6 \cdot 0,8 \cdot 0,7+0,6 \cdot 0,8 \cdot 0,5-0,6 \cdot 0,8 \cdot 0,7 \cdot 0,5=0,408.$$ Ответ $0,408$. Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится - посмотрите её решение. Задача 6.10 Условие Чтобы поступить в институт на специальность <<Переводчик>>, абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 79 баллов по каждому из трёх предметов - математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность <<Таможенное дело>>, нужно набрать не менее 79 баллов по каждому из трёх предметов - математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент Б. получит не менее 79 баллов по математике, равна 0,9, по русскому языку - 0,7, по иностранному языку? - 0,8 и по обществознанию? - 0,9. Найдите вероятность того, что Б. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей. Решение Поскольку абитуриент может сдать или не сдать экзамены по отдельным предметам независимо друг отдруга, вероятность поступить на специальность <<Переводчик>> равна $$P(\text{П})=P(\text{М})\cdot P(\text{Р})\cdot P(\text{ин})=0,9 \cdot 0,7 \cdot 0,8,$$ вероятность поступить на специальность <<Коммерция>> $$P(\text{Т})=P(\text{М})\cdot P(\text{Р})\cdot P(\text{общ})=0,9 \cdot 0,7 \cdot 0,9,$$ а на обе специальности $$P(\text{П}\cap \text{Т})=P(\text{М})\cdot P(\text{Р})\cdot P(\text{ин}) \cdot P(\text{общ})=0,9 \cdot 0,7 \cdot 0,8 \cdot 0,9.$$ Применим формулу сложения вероятностей: $$P(\text{П}\cup \text{Т})=P(\text{П})+P(\text{Т})-P(\text{П}\cap \text{Т})=0,9 \cdot 0,7 \cdot 0,8+0,9 \cdot 0,7 \cdot 0,9-0,9 \cdot 0,7 \cdot 0,8 \cdot 0,9=0,6174.$$ Ответ $0,6174$. Задача 6.11 Условие Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на игровые пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определён жребием. Всего в турнире участвует 16 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга - Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придется сыграть друг с другом? Решение Всего на турнире пройдут 4 тура. Найдем вероятности, с которыми Иван и Алексей сыграют друг с другом отдельно в каждом из туров. Вероятность того, что Иван с Алексеем сыграют друг с другом в первом туре, равна $$P(1)=\frac{1}{15}.$$ Чтобы сыграть друг с другом во втором туре, им нужно не сыграть друг с другом в первом туре (с вероятностью $\frac{14}{15}$), обоим победить (с вероятностью $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}$) и, пройдя во втором туре, в котором останется 8 игроков, сыграть друг с другом (с вероятностью $\frac{1}{7}$). Тогда вероятность того, что Иван с Алексеем сыграют друг с другом во втором туре, равна $$P(2)=\frac{14}{15}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{7}=\frac{1}{30}.$$ Рассуждая аналогично, получим вероятность того, что Иван с Алексеем сыграют друг с другом в третьем туре $$P(3)=\frac{14}{15}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot \frac{6}{7}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{60}$$ и вероятность сыграть друг с другом в четвертом туре $$P(4)=\frac{14}{15}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot \frac{6}{7}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{120}.$$ Тогда искомая вероятность $$P=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)=\frac{1}{15}+\frac{1}{30}+\frac{1}{60}+\frac{1}{120}=\frac{1}{8}=0,125.$$ Ответ $0,125$. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится - посмотрите её решение.