Разные задачи

Задача 6.5 Условие Правильную игральную кость бросают дважды. Известно, что сумма выпавших очков больше 8. Найдите вероятность события <<при втором броске выпало больше 4 очков>>. Решение Рассмотрим все пары чисел, которые при двух бросках дают сумму больше восьми (событие $B$) и в которых каждое из чисел может принимать значения от 1 до 6: $$(3;6),(4;5),(4;6),(5;4),(5;5),(5;6),(6;3),(6;4),(6;5),(6;6).$$ Таких пар 10. Выделим из них те пары, которые удовлетворяют условию события $A$ - <<при втором броске выпало больше 4 очков>>: $$\textbf{(3;6)},\textbf{(4;5)},\textbf{(4;6)},(5;4),\textbf{(5;5)},\textbf{(5;6)},(6;3),(6;4),\textbf{(6;5)},\textbf{(6;6)}.$$ Выделенных пар 7. При этом всего при двух бросках игральной кости есть 36 равновероятных элементарных исходов. Тогда искомая условная вероятность равна $$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{7/36}{10/36}=\frac{7}{10}=0,7.$$ Ответ $0,7$. Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится - посмотрите её решение. Задача 6.6 Условие Правильную игральную кость бросают дважды. Известно, что сумма выпавших очков больше 8. Найдите вероятность события <<при втором броске выпало 3 очка>>. Решение Рассмотрим все пары чисел, которые при двух бросках дают сумму больше восьми (событие $B$) и в которых каждое из чисел может принимать значения от 1 до 6: $$(3;6),(4;5),(4;6),(5;4),(5;5),(5;6),(6;3),(6;4),(6;5),(6;6).$$ Таких пар 10, из них лишь в одном случае $(6;3)$ при втором броске выпало 3 очка (событие $A$). При этом всего при двух бросках игральной кости есть 36 равновероятных элементарных исходов. Тогда искомая условная вероятность равна $$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{1/36}{10/36}=\frac{1}{10}=0,1.$$ Ответ $0,1$. Задача 6.7 Условие При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отравляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, его выявляют в $86{\%}$ случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в $94\%$ случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у $10\%$ пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность, что пациент действительно имеет это заболевание? Решение Построим дерево вероятностей. Рассмотрим все возможные варианты: пусть вероятность того, что поступающий на ПЦР-тест пациент может действительно болен, равна $p$. Тогда он окажется здоров с вероятностью $1-p$. В каждом из этих двух случаев результат ПЦР-теста может оказаться как положительным, так и отрицательным. В случае если пациент болен, его тест может оказаться положительным с вероятностью $0,86$ или отрицательным с вероятностью $1-0,86=0,14$. Если пациент здоров, его тест может оказаться отрицательным с вероятностью $0,94$ или положительным с вероятностью $1-0,94=0,06$. Тогда вероятность того, что результат теста пациента окажется положительным (событие $B$), будет равна $$P(B)=0,86p+0,06(1-p)=0,1,$$ так как по условию тест оказывается положительным в среднем у $10\%$ пациентов. Решая полученное уравнение, найдем $p=\frac{1}{20}$. Тогда вероятность того, что пациент действительно болен (событие $A$) при условии, что его тест положительный (событие $B$), равна $$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0,86p}{0,1}=\frac{0,86\cdot\frac{1}{20}}{0,1}=0,43.$$ Ответ $0,43$. Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится - посмотрите её решение. Задача 6.8 Условие При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в $91\%$ случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в $93\%$ случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у $10\%$ пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание? Решение Построим дерево вероятностей. Рассмотрим все возможные варианты: пусть вероятность того, что поступающий на ПЦР-тест пациент может действительно болен, равна $p$. Тогда он окажется здоров с вероятностью $1-p$. В каждом из этих двух случаев результат ПЦР-теста может оказаться как положительным, так и отрицательным. В случае если пациент болен, его тест может оказаться положительным с вероятностью $0,91$ или отрицательным с вероятностью $1-0,91=0,09$. Если пациент здоров, его тест может оказаться отрицательным с вероятностью $0,93$ или положительным с вероятностью $1-0,93=0,07$. Тогда вероятность того, что результат теста пациента окажется положительным (событие $B$), будет равна $$P(B)=0,91p+0,07(1-p)=0,1,$$ так как по условию тест оказывается положительным в среднем у $10\%$ пациентов. Решая полученное уравнение, найдем $p=\frac{1}{28}$. Тогда вероятность того, что пациент действительно болен (событие $A$) при условии, что его тест положительный (событие $B$), равна $$P(...