Разные задачи: Часть 2

Задача 6.5

Условие

Правильную игральную кость бросают дважды. Известно, что сумма выпавших очков больше 8. Найдите вероятность события <<при втором броске выпало больше 4 очков>>.

Решение

Рассмотрим все пары чисел, которые при двух бросках дают сумму больше восьми (событие B ) и в которых каждое из чисел может принимать значения от 1 до 6: (3;6),(4;5),(4;6),(5;4),(5;5),(5;6),(6;3),(6;4),(6;5),(6;6). Таких пар 10. Выделим из них те пары, которые удовлетворяют условию события A - <<при втором броске выпало больше 4 очков>>: \textbf{(3;6)},\textbf{(4;5)},\textbf{(4;6)},(5;4),\textbf{(5;5)},\textbf{(5;6)},(6;3),(6;4),\textbf{(6;5)},\textbf{(6;6)}. Выделенных пар 7. При этом всего при двух бросках игральной кости есть 36 равновероятных элементарных исходов. Тогда искомая условная вероятность равна P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{7/36}{10/36}=\frac{7}{10}=0,7.

Ответ 0,7 .

Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится - посмотрите её решение.

Задача 6.6

Условие

Правильную игральную кость бросают дважды. Известно, что сумма выпавших очков больше 8. Найдите вероятность события <<при втором броске выпало 3 очка>>.

Решение

Рассмотрим все пары чисел, которые при двух бросках дают сумму больше восьми (событие B ) и в которых каждое из чисел может принимать значения от 1 до 6: (3;6),(4;5),(4;6),(5;4),(5;5),(5;6),(6;3),(6;4),(6;5),(6;6). Таких пар 10, из них лишь в одном случае (6;3) при втором броске выпало 3 очка (событие A ). При этом всего при двух бросках игральной кости есть 36 равновероятных элементарных исходов. Тогда искомая условная вероятность равна P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{1/36}{10/36}=\frac{1}{10}=0,1.

Ответ 0,1 .

Задача 6.7

Условие

При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отравляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, его выявляют в 86{\%} случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94\% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10\% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность, что пациент действительно имеет это заболевание?

Решение

Построим дерево вероятностей. Рассмотрим все возможные варианты: пусть вероятность того, что поступающий на ПЦР-тест пациент может действительно болен, равна p . Тогда он окажется здоров с вероятностью 1-p . В каждом из этих двух случаев результат ПЦР-теста может оказаться как положительным, так и отрицательным. В случае если пациент болен, его тест может оказаться положительным с вероятностью 0,86 или отрицательным с вероятностью 1-0,86=0,14 . Если пациент здоров, его тест может оказаться отрицательным с вероятностью 0,94 или положительным с вероятностью 1-0,94=0,06 .

5_7 Тогда вероятность того, что результат теста пациента окажется положительным (событие B ), будет равна P(B)=0,86p+0,06(1-p)=0,1, так как по условию тест оказывается положительным в среднем у 10\% пациентов. Решая полученное уравнение, найдем p=\frac{1}{20} . Тогда вероятность того, что пациент действительно болен (событие A ) при условии, что его тест положительный (событие B ), равна P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0,86p}{0,1}=\frac{0,86\cdot\frac{1}{20}}{0,1}=0,43.

Ответ 0,43 .

Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится - посмотрите её решение.

Задача 6.8

Условие

При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 91\% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 93\% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10\% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Решение

Построим дерево вероятностей. Рассмотрим все возможные варианты: пусть вероятность того, что поступающий на ПЦР-тест пациент может действительно болен, равна p . Тогда он окажется здоров с вероятностью 1-p . В каждом из этих двух случаев результат ПЦР-теста может оказаться как положительным, так и отрицательным. В случае если пациент болен, его тест может оказаться положительным с вероятностью 0,91 или отрицательным с вероятностью 1-0,91=0,09 . Если пациент здоров, его тест может оказаться отрицательным с вероятностью 0,93 или положительным с вероятностью 1-0,93=0,07 .

5_8 Тогда вероятность того, что результат теста пациента окажется положительным (событие B ), будет равна P(B)=0,91p+0,07(1-p)=0,1, так как по условию тест оказывается положительным в среднем у 10\% пациентов. Решая полученное уравнение, найдем p=\frac{1}{28} . Тогда вероятность того, что пациент действительно болен (событие A ) при условии, что его тест положительный (событие B ), равна P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0,91p}{0,1}=\frac{0,91\cdot\frac{1}{28}}{0,1}=\frac{13}{40}=0,325.

Ответ 0,325 .