Разные задачи

Задача 6.1 Условие За круглый стол на 11 стульев в случайном порядке рассаживаются 9 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки окажутся на соседних местах. Решение Пусть одна девочка села за стол. Это достоверное событие, по условию задачи произойдет с вероятностью 1. Рядом с ней 2 свободных места, на которые может сесть вторая девочка, чтобы оказаться рядом с первой. Общее число оставшихся мест равно 10, причем любое из них вторая девочка может занять с равной вероятностью. Тогда вероятность того, что вторая девочка сядет рядом с первой равна $P=\frac{2}{10}=0,2$. Ответ $0,2$. Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится - посмотрите её решение. Задача 6.2 Условие За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки окажутся на соседних местах. Решение Пусть одна девочка села за стол. Это достоверное событие, по условию задачи произойдет с вероятностью 1. Рядом с ней 2 свободных места, на которые может сесть вторая девочка, чтобы оказаться рядом с первой. Общее число оставшихся мест равно 8, причем любое из них вторая девочка может занять с равной вероятностью. Тогда вероятность того, что вторая девочка сядет рядом с первой равна $P=\frac{2}{8}=0,25$. Ответ $0,25$. Задача 6.3 Условие В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя не глядя переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах. Решение Чтобы пятирублевые монеты лежли в разных карманах, он должен переложить ровно одну из двух пятирублевых монет в другой карман. Вероятность того, что Петя взял пятирублевую монету, затем десятирублевую, и затем еще одну десятирублевую (в указанном порядке) равна $$P(5,\,10,\,10)=\frac{2}{6}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{3}{4}= \frac{1}{5}.$$ Петя мог достать пятирублевую монету не только первой, но и второй или третьей. Вероятности этих вариантов окажутся такими же: $$P(10,\,5,\,10)=\frac{4}{6}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{3}{4}= \frac{1}{5},$$ $$P(10,\,10,\,5)=\frac{4}{6}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}= \frac{1}{5}.$$ Следовательно, вероятность достать набор из одной пятирублевой и двух десятирублевых монет равна $P=3\cdot \frac{1}{5}=\frac{3}{5}= 0,6$. Ответ $0,6$. Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится - посмотрите её решение. Задача 6.4 Условие В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя не глядя переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане. Решение Чтобы двухрублевые монеты лежли в одном карманe, Петя может переложить в другой карман либо три монеты по рублю, либо две двухрублевые и одну рублевую. Рассмотрим три события: событие $A$ - ”обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане”, событие $B$ - ”Петя переложил три монеты по 1 рублю в другой карман”, событие $C$ - ”Петя переложил две двухрублевые монеты и одну рублевую в другой карман”. События $B$ и $C$ несовместны, а событие $A$ является объединением событий $B$ и $C$. Вероятность события $B$ равна $P(B)=\frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4}=\frac{1}{5}$. Для наступления события $C$ Петя может взять одну рублевую монету и две двухрублевые в любом порядке, всего возможно три варианта (1, 2, 2), (2, 1, 2) и (2, 2, 1), их вероятности одинаковы. Тогда $$P(C)=3\cdot \frac{4}{6}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}= 3\cdot\frac{1}{15}=\frac{1}{5}.$$ Тогда вероятность интересующего нас события $A$ равна $$P(A)=P(B\cup C)=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{2}{5}=0,4.$$ Ответ $0,4$.