Условная вероятность

Задача 5.9 Условие Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет чётных чисел, а нечётные числа 1, 3 и 5 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков. Какова вероятность того, что бросали второй кубик? Решение Составим дерево вероятностей. Рассмотрим два события: событие $A$ ”бросали <<нечетный>> кубик”, событие $B$ ”в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков”. Приведем фрагмент дерева для события $B$. Вероятность выбросить каждую из комбинаций (5, 3) или (3, 5) на обычном кубике равна $\frac{1}{36}$. Вероятность выбросить каждое из чисел 5 или 3 при одном броске второго кубика равна $P(3)=P(5)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. Тогда вероятность выбросить каждую из комбинаций (5, 3) или (3, 5) на <<нечетном>> кубике равна $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{9}$. Вероятность выбрать любой из кубиков равна $\frac{1}{2}$. Тогда условная вероятность $$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{9}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{9}}{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{36}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{36}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{9}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{9}}=\frac{8}{10}= 0,8.$$ Ответ $0,8$. Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится посмотрите её решение. Задача 5.10 Условие Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет чисел, больших, чем 2, а числа 1 и 2 встречаются по три раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 1 и 2 очка. Какова вероятность того, что бросали второй кубик? Решение Составим дерево вероятностей. Рассмотрим два события: событие $A$ ”бросали второй (необычный) кубик”, событие $B$ ”в каком-то порядке выпали 1 и 2 очка”. Приведем фрагмент дерева для события $B$. Вероятность выбросить каждую из комбинаций (1, 2) или (2, 1) на обычном кубике равна $\frac{1}{36}$. Вероятность выбросить каждое из чисел 1 или 2 при одном броске второго кубика равна $P(1)=P(2)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. Тогда вероятность выбросить каждую из комбинаций (1, 2) или (2, 1) на необычном кубике равна $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$. Вероятность выбрать любой из кубиков равна $\frac{1}{2}$. Тогда условная вероятность $$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{36}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{36}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}}=\frac{9}{10}= 0,9.$$ Ответ $0,9$. Задача 5.11 Условие На диаграмме Эйлера показаны события A и B в некотором случайном эксперименте, в котором 10 равновероятных элементарных событий. Элементарные события показаны точками. Найдите $P(A|B)$ условную вероятность события $A$ при условии $B$. Решение В рассматриваемом случайном эксперименте 10 равновероятных элементарных событий, вероятность каждого из них равна $p=\frac{1}{10}$. События $A$ и $B$ наступают одновременно лишь при одном элементарном исходе, значит $P(A \cap B)=\frac{1}{10}$, а наступление события $B$ влекут два элементарных исхода, значит $P(B)=\frac{2}{10}$. Тогда условная вероятность $$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{1/10}{2/10}=\frac{1}{2}=0,5.$$ Ответ $0,5$. Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится посмотрите её решение. Задача 5.12 Условие На диаграмме Эйлера (см. предыдущую задачу) показаны события A и B в некотором случайном эксперименте, в котором 10 равновероятных элементарных событий. Элементарные события показаны точками. Найдите $P(B|A)$ условную вероятность события $B$ при условии $A$. Решение В рассматриваемом случайном эксперименте 10 равновероятных элементарных событий, вероятность каждого из них равна $p=\frac{1}{10}$. События $A$ и $B$ наступают одновременно лишь при одном элементарном исходе, значит $P(A \cap B)=\frac{1}{10}$, а наступление события $A$ влекут четыре элементарных исхода, значит $P(A)=\frac{4}{10}$. Тогда условная вероятность $$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{1/10}{4/10}=\frac{1}{4}=0,25.$$ Ответ $0,25$.