Условная вероятность: Часть 4

Задача 5.9

Условие

Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет чётных чисел, а нечётные числа 1, 3 и 5 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков. Какова вероятность того, что бросали второй кубик?

Решение

Составим дерево вероятностей. Рассмотрим два события: событие A ”бросали <<нечетный>> кубик”, событие B ”в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков”. Приведем фрагмент дерева для события B .

4_9 Вероятность выбросить каждую из комбинаций (5, 3) или (3, 5) на обычном кубике равна \frac{1}{36} . Вероятность выбросить каждое из чисел 5 или 3 при одном броске второго кубика равна P(3)=P(5)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} . Тогда вероятность выбросить каждую из комбинаций (5, 3) или (3, 5) на <<нечетном>> кубике равна \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{9} . Вероятность выбрать любой из кубиков равна \frac{1}{2} . Тогда условная вероятность P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{9}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{9}}{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{36}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{36}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{9}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{9}}=\frac{8}{10}= 0,8.

Ответ 0,8 .

Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится посмотрите её решение.

Задача 5.10

Условие

Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет чисел, больших, чем 2, а числа 1 и 2 встречаются по три раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 1 и 2 очка. Какова вероятность того, что бросали второй кубик?

Решение

Составим дерево вероятностей. Рассмотрим два события: событие A ”бросали второй (необычный) кубик”, событие B ”в каком-то порядке выпали 1 и 2 очка”. Приведем фрагмент дерева для события B .

4_10 Вероятность выбросить каждую из комбинаций (1, 2) или (2, 1) на обычном кубике равна \frac{1}{36} . Вероятность выбросить каждое из чисел 1 или 2 при одном броске второго кубика равна P(1)=P(2)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} . Тогда вероятность выбросить каждую из комбинаций (1, 2) или (2, 1) на необычном кубике равна \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4} . Вероятность выбрать любой из кубиков равна \frac{1}{2} . Тогда условная вероятность P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{36}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{36}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}}=\frac{9}{10}= 0,9.

Ответ 0,9 .

Задача 5.11

Условие

На диаграмме Эйлера показаны события A и B в некотором случайном эксперименте, в котором 10 равновероятных элементарных событий. Элементарные события показаны точками. Найдите P(A|B) условную вероятность события A при условии B .

Снимок экрана 2026-03-09 в 13.11.10.png

Решение

В рассматриваемом случайном эксперименте 10 равновероятных элементарных событий, вероятность каждого из них равна p=\frac{1}{10} . События A и B наступают одновременно лишь при одном элементарном исходе, значит P(A \cap B)=\frac{1}{10} , а наступление события B влекут два элементарных исхода, значит P(B)=\frac{2}{10} . Тогда условная вероятность P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{1/10}{2/10}=\frac{1}{2}=0,5.

Ответ 0,5 .

Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится посмотрите её решение.

Задача 5.12

Условие

На диаграмме Эйлера (см. предыдущую задачу) показаны события A и B в некотором случайном эксперименте, в котором 10 равновероятных элементарных событий. Элементарные события показаны точками. Найдите P(B|A) условную вероятность события B при условии A .

Решение

В рассматриваемом случайном эксперименте 10 равновероятных элементарных событий, вероятность каждого из них равна p=\frac{1}{10} . События A и B наступают одновременно лишь при одном элементарном исходе, значит P(A \cap B)=\frac{1}{10} , а наступление события A влекут четыре элементарных исхода, значит P(A)=\frac{4}{10} . Тогда условная вероятность P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{1/10}{4/10}=\frac{1}{4}=0,25.

Ответ 0,25 .