Условная вероятность

Задача 5.5 Условие Игральную кость бросили один или несколько раз, пока сумма выпавших при всех бросках очков не стала больше чем $2$. Оказалось, что число выпавших очков равно 3. Какова вероятность, что был сделан один бросок? Ответ округлите до сотых. Решение Составим дерево вероятностей. Рассмотрим два события: событие $A$ ”был сделан один бросок”, событие $B$ ”сумма выпавших очков равна 3”. Событие $B$ может наступить в четырех случаях: 1 бросок на 3 очка (с вероятностью $\frac{1}{6}$), 2 броска 1+2 или 2+1 (каждый с вероятностью $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$) или 3 броска 1+1+1 (с вероятностью $\left(\frac{1}{6} \right)^3$. Тогда $$P(B)= \frac{1}{6}+2\cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}+\left(\frac{1}{6} \right)^3=\frac{1}{6}+\frac{2}{36}+\frac{1}{216}.$$ Вероятность одновременного наступления событий $A$ и $B$ равна вероятности выбросить 3 очка сразу первым броском $P(A\cap B)=\frac{1}{6}$. Тогда условная вероятность $$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{1/6}{\frac{1}{6}+\frac{2}{36}+\frac{1}{216}}=\frac{36}{49}\approx 0,73.$$ Ответ $0,73$. Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится посмотрите её решение. Задача 5.6 Условие Игральную кость бросили один или несколько раз, пока сумма выпавших при всех бросках очков не стала больше чем $2$. Оказалось, что число выпавших очков равно 3. Какова вероятность, что было сделано два броска? Ответ округлите до сотых. Решение Воспользуемся деревом вероятностей, построенным для предыдущей задачи. Рассмотрим два события: событие $C$ ”было сделано два броска”, событие $B$ ”сумма выпавших очков равна 3”. Событие $B$ может наступить в четырех случаях: 1 бросок на 3 очка (с вероятностью $\frac{1}{6}$), 2 броска 1+2 или 2+1 (каждый с вероятностью $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$) или 3 броска 1+1+1 (с вероятностью $\left(\frac{1}{6} \right)^3$. Тогда $$P(B)= \frac{1}{6}+2\cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}+\left(\frac{1}{6} \right)^3=\frac{1}{6}+\frac{2}{36}+\frac{1}{216}.$$ Вероятность одновременного наступления событий $C$ и $B$ равна вероятности выбросить сумму 1+2 или 2+1 за два броска $P(C\cap B)=2\cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}=\frac{2}{36}$. Тогда условная вероятность $$P(C|B)=\frac{P(C\cap B)}{P(B)}=\frac{2/36}{\frac{1}{6}+\frac{2}{36}+\frac{1}{216}}=\frac{12}{49}\approx 0,24.$$ Заметим, что если мы введем событие $D$ ”было сделано три броска” и вычислим условную вероятность $P(D|B)$, получим $$P(D|B)=\frac{P(D\cap B)}{P(B)}=\frac{1/216}{\frac{1}{6}+\frac{2}{36}+\frac{1}{216}}=\frac{1}{49}.$$ Обратите внимание, что сумма $P(A|B)+P(C|B)+P(D|B)=\frac{36}{49}+\frac{12}{49}+\frac{1}{49}=1$, то есть при условии, что произошло событие $B$ (сумма выпавших очков оказалась равна 3), с вероятностью 1 был сделан один, два или три броска. Ответ $0,24$.