Условная вероятность

Условная вероятность Рассмотрим два совместных события $A$ и $B$. События $A$ и $B$ имеют непустое пересечение: существуют какие-то элементарные исходы, которые влекут одновременно наступление как события $A$, так и события $B$. Пусть наверняка известно, что произошло событие $B$. Вероятность наступления события $A$ при условии, что наступило событие $B$, называется условной вероятностью и обозначается $P(A|B)$. Условная вероятность вычисляется как $$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$ Задача 5.1 Условие Игральную кость бросили два раза. Известно, что три очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события <<сумма выпавших очков окажется равна 8>>. Решение Рассмотрим два события: событие $A$ ”сумма выпавших очков равна 8”, событие $B$ ”три очка не выпало ни разу”. Рассмотрим сначала все возможные исходы двух бросков (таблица слева, $6^2=36$ вариантов). Зная, что три очка не выпали ни разу (событие $B$), оставим только те варианты, которые соответствуют этому условию (таблица справа $36-11=25$ вариантов). Вероятность события $B$ равна $P(B)=\frac{25}{36}$. Из всех исходов, которые влекут наступление события $B$, событие $A$ наступает в трех случаях (62, 44, 26), поэтому $P(A\cap B)=\frac{3}{36}$. Тогда условная вероятность $$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{3/36}{25/36}=\frac{3}{25}=0,12.$$ Мы могли бы рассуждать немного по-другому. Исходное количество равновероятных элементарных исходов равно 36, но после получения информации о наступлении события $B$, множество элементарных исходов изменяется, их остается $36-11=25$, из которых 3 влекут наступление события $A$. Вычисляя вероятность события $A$ на новом множестве элементарных исходов, получим $\frac{3}{25}=0,12$. 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 11 12 14 15 16 21 22 24 25 26 41 42 44 45 46 51 52 54 55 56 61 62 64 65 66 Ответ $0,12$. Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится посмотрите её решение. Задача 5.2 Условие Игральную кость бросили два раза. Известно, что два очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события <<сумма выпавших очков окажется равна 4>>. Решение Рассмотрим два события: событие $A$ ”сумма выпавших очков равна 4”, событие $B$ ”два очка не выпало ни разу”. Рассмотрим сначала все возможные исходы двух бросков (таблица слева, $6^2=36$ вариантов). Зная, что два очка не выпали ни разу (событие $B$), оставим только те варианты, которые соответствуют этому условию (таблица справа $36-11=25$ вариантов). Вероятность события $B$ равна $P(B)=\frac{25}{36}$. Из всех исходов, которые влекут наступление события $B$, событие $A$ наступает в двух случаях (13, 31), поэтому $P(A\cap B)=\frac{2}{36}$. Тогда условная вероятность $$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{2/36}{25/36}=\frac{2}{25}=0,08.$$ Мы могли бы рассуждать немного по-другому. Исходное количество равновероятных элементарных исходов равно 36, но после получения информации о наступлении события $B$, множество элементарных исходов изменяется, их остается $36-11=25$, из которых 2 влекут наступление события $A$. Вычисляя вероятность события $A$ на новом множестве элементарных исходов, получим $\frac{2}{25}=0,08$. 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 11 13 14 15 16 31 33 34 35 36 41 43 44 45 46 51 53 54 55 56 61 63 64 65 66 Ответ $0,08$. Задача 5.3 Условие Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что во второй раз выпало 3 очка. Решение Рассмотрим два события: событие $A$ ”во второй раз выпало 3 очка”, событие $B$ ”сумма выпавших очков равна 8”. Событие $B$ может наступить в пяти случаях из 36: 6+2, 5+3, 4+4, 3+5 и 2+6, $P(B)=\frac{5}{36}$. Из этих 5 случаев, когда наступает событие $B$, событие $A$ может наступить лишь в одном: 3+5, то есть $P(A\cap B)=\frac{1}{36}$. Тогда условная вероятность $$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{1/36}{5/36}=\frac{1}{5}=0,2.$$ Мы могли бы рассуждать немного по-другому. Исходное количество равновероятных элементарных исходов равно 36, но после получения информации о наступлении события $B$, множество элементарных исходов изменяется, их остается всего 5, из которых лишь один влечет наступление события $A$. Вычисляя вероятность события $A$ на новом множестве элементарных исходов, получим $\frac{1}{5}=0,2$. Ответ $0,2$. Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится посмотрите её решение. Задача 5.4 Условие При двукратном бросании игральной кости в сумме выпало 9 очков. Какова вероятность того, что хотя бы раз выпало 5 очков? Решение Рассмотрим два события: событие $A$ ”хотя бы раз выпало 5 очков”, событие $B$ ”сумма выпавших очков равна 9”. Событие $B$ может наступить в четырех случаях из 36: 6+3, 5+4, 4+5 и 3+6, $P(B)=\frac{4}{36}$. Из этих 4 случаев, когда наступает событие $B$, событие $A$ может наступить в двух: 5+4 и 4+5, то есть $P(A\cap B)=\frac{2}{36}$...