Элементы комбинаторики: Часть 3

Задача 4.5

Условие

В коробке 7 красных и 3 синих шара. Случайным образом из коробки извлекают 5 шаров. Какова вероятность события <<среди извлеченных шаров не более 3 красных>>?

Решение

Обозначим за A рассматриваемое событие <<среди извлеченных шаров не более 3 красных>>. Рассмотрим все возможные варианты, при которых может наступить событие A . Так как всего мы достаем 5 шаров, из которых красных не более трех, рассмотрим варианты:

красных ни одного, тогда синих должно быть 5, но это невозможно (синих всего 3 штуки в коробке);

красных 1 штука, тогда синих должно быть 4, это тоже невозможно;

красных 2 штуки, тогда синих должно быть 3 (это возможно, обозначим это событие B );

красных 3 штуки, тогда синих должно быть 2 (это возможно, обозначим это событие C ).

Тогда событие A представляет собой объединение двух несовместных событий B и C , значит P(A)=P(B \cup C)=P(B)+P(C) .

Элементарным исходом в данной задаче будем считать событие <<из коробки достали 5 конкретных шаров без учета порядка>>. Все такие исходы будут равновероятны. Рассмотрим сначала событие B . Для определения вероятности события B найдем число элементарных исходов, в которых мы вытащим 2 красных и 3 синих шара. Это число, в свою очередь, равно произведению числа способов выбрать 2 шара из 7 имеющихся красных и числа способов выбрать 3 шара из 3 имеющихся синих: M_B=C_7^2\cdot C_3^3 . Общее колчество исходов равно числу способов выбрать 5 шаров из 10: N_B=C_{10}^5 . Тогда вероятность события B равна P_B=\frac{M_B}{N_B}=\frac{C_7^2\cdot C_3^3}{C_{10}^5} . Аналогично, вероятность события C равна P_C=\frac{M_C}{N_C}=\frac{C_7^3\cdot C_3^2}{C_{10}^5} , где N_C=N_B=C_{10}^5 . Тогда искомая вероятность события A равна P(A)=P(B)+P(C)=\frac{C_7^2\cdot C_3^3+C_7^3\cdot C_3^2}{C_{10}^5}=\frac{126}{252}=0,5.

Ответ 0,5 .

Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение.

Задача 4.6

Условие

В коробке 5 красных и 4 синих шара. Случайным образом извлекают четыре шара из коробки. Какова вероятность того, что среди них окажется не более одного красного шара?

Решение

Обозначим за A рассматриваемое событие <<среди извлеченных шаров не более 1 красного>>. Рассмотрим все возможные варианты, при которых может наступить событие A . Так как всего мы достаем 4 шара, из которых красных не более одного, рассмотрим варианты:

красных ни одного, тогда синих должно быть 4, обозначим это событие B ;

красных 1 штука, тогда синих должно быть 3, обозначим это событие C .

Тогда событие A представляет собой объединение двух несовместных событий B и C , значит P(A)=P(B \cup C)=P(B)+P(C) .

Элементарным исходом в данной задаче будем считать событие <<из коробки достали 4 конкретных шара без учета порядка>>. Все такие исходы будут равновероятны. Рассмотрим сначала событие B . Для определения вероятности события B найдем число элементарных исходов, в которых мы вытащим 4 синих шара и не вытащим ни одного красного. Это число, в свою очередь, равно произведению числа способов выбрать 4 шара из 4 имеющихся синих и числа способов <<выбрать 0 шаров>> из 5 имеющихся красных: M_B=C_5^0\cdot C_4^4=1 . Общее колчество исходов равно числу способов выбрать 4 шаров из 9: N_B=C_{9}^4 . Тогда вероятность события B равна P_B=\frac{M_B}{N_B}=\frac{1}{C_{9}^4} . Аналогично, вероятность события C равна P_C=\frac{M_C}{N_C}=\frac{C_5^1\cdot C_4^3}{C_{9}^4}=\frac{20}{C_{9}^4} , где N_C=N_B=C_{9}^4 . Тогда искомая вероятность события A равна P(A)=P(B)+P(C)=\frac{1+20}{C_{9}^4}=\frac{1}{6}.

Ответ \frac{1}{6} .