Элементы комбинаторики

Задача 4.5 Условие В коробке 7 красных и 3 синих шара. Случайным образом из коробки извлекают 5 шаров. Какова вероятность события <<среди извлеченных шаров не более 3 красных>>? Решение Обозначим за $A$ рассматриваемое событие <<среди извлеченных шаров не более 3 красных>>. Рассмотрим все возможные варианты, при которых может наступить событие $A$. Так как всего мы достаем 5 шаров, из которых красных не более трех, рассмотрим варианты: красных ни одного, тогда синих должно быть 5, но это невозможно (синих всего 3 штуки в коробке); красных 1 штука, тогда синих должно быть 4, это тоже невозможно; красных 2 штуки, тогда синих должно быть 3 (это возможно, обозначим это событие $B$); красных 3 штуки, тогда синих должно быть 2 (это возможно, обозначим это событие $C$). Тогда событие $A$ представляет собой объединение двух несовместных событий $B$ и $C$, значит $P(A)=P(B \cup C)=P(B)+P(C)$. Элементарным исходом в данной задаче будем считать событие <<из коробки достали 5 конкретных шаров без учета порядка>>. Все такие исходы будут равновероятны. Рассмотрим сначала событие $B$. Для определения вероятности события $B$ найдем число элементарных исходов, в которых мы вытащим 2 красных и 3 синих шара. Это число, в свою очередь, равно произведению числа способов выбрать 2 шара из 7 имеющихся красных и числа способов выбрать 3 шара из 3 имеющихся синих: $M_B=C_7^2\cdot C_3^3$. Общее колчество исходов равно числу способов выбрать 5 шаров из 10: $N_B=C_{10}^5$. Тогда вероятность события $B$ равна $P_B=\frac{M_B}{N_B}=\frac{C_7^2\cdot C_3^3}{C_{10}^5}$. Аналогично, вероятность события $C$ равна $P_C=\frac{M_C}{N_C}=\frac{C_7^3\cdot C_3^2}{C_{10}^5}$, где $N_C=N_B=C_{10}^5$. Тогда искомая вероятность события $A$ равна $$P(A)=P(B)+P(C)=\frac{C_7^2\cdot C_3^3+C_7^3\cdot C_3^2}{C_{10}^5}=\frac{126}{252}=0,5.$$ Ответ $0,5$. Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Задача 4.6 Условие В коробке 5 красных и 4 синих шара. Случайным образом извлекают четыре шара из коробки. Какова вероятность того, что среди них окажется не более одного красного шара? Решение Обозначим за $A$ рассматриваемое событие <<среди извлеченных шаров не более 1 красного>>. Рассмотрим все возможные варианты, при которых может наступить событие $A$. Так как всего мы достаем 4 шара, из которых красных не более одного, рассмотрим варианты: красных ни одного, тогда синих должно быть 4, обозначим это событие $B$; красных 1 штука, тогда синих должно быть 3, обозначим это событие $C$. Тогда событие $A$ представляет собой объединение двух несовместных событий $B$ и $C$, значит $P(A)=P(B \cup C)=P(B)+P(C)$. Элементарным исходом в данной задаче будем считать событие <<из коробки достали 4 конкретных шара без учета порядка>>. Все такие исходы будут равновероятны. Рассмотрим сначала событие $B$. Для определения вероятности события $B$ найдем число элементарных исходов, в которых мы вытащим 4 синих шара и не вытащим ни одного красного. Это число, в свою очередь, равно произведению числа способов выбрать 4 шара из 4 имеющихся синих и числа способов <<выбрать 0 шаров>> из 5 имеющихся красных: $M_B=C_5^0\cdot C_4^4=1$. Общее колчество исходов равно числу способов выбрать 4 шаров из 9: $N_B=C_{9}^4$. Тогда вероятность события $B$ равна $P_B=\frac{M_B}{N_B}=\frac{1}{C_{9}^4}$. Аналогично, вероятность события $C$ равна $P_C=\frac{M_C}{N_C}=\frac{C_5^1\cdot C_4^3}{C_{9}^4}=\frac{20}{C_{9}^4}$, где $N_C=N_B=C_{9}^4$. Тогда искомая вероятность события $A$ равна $$P(A)=P(B)+P(C)=\frac{1+20}{C_{9}^4}=\frac{1}{6}.$$ Ответ $\frac{1}{6}$.