Элементы комбинаторики

Задача 4.1 Условие Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события <<выпадет ровно 5 орлов>> больше вероятности события <<выпадет ровно 4 орла>>? Решение Воспользуемся формулой Бернулли. Найдем вероятность события $A$, состоящего в том, что при 10 бросках выпадет ровно 5 орлов: $$ P(A)=C_{10}^{5}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{5}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{10-5}.$$ Вероятность события $B$, состоящего в том, что при 10 бросках выпадет ровно 4 орла, равна: $$ P(B)=C_{10}^{4}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{4}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{10-4}.$$ Тогда $$\frac{P(A)}{P(B)}=\frac{C_{10}^{5}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}}{C_{10}^{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}}=\frac{\frac{10!}{5!\cdot 5!}}{\frac{10!}{4!\cdot6!}}=\frac{6}{5}=1,2.$$ Ответ $1,2$. Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Задача 4.2 Условие Симметричную монету бросают 16 раз. Во сколько раз вероятность события <<выпадет ровно 8 орлов>> больше вероятности события <<выпадет ровно 7 орлов>>. Решение Воспользуемся формулой Бернулли. Найдем вероятность события $A$, состоящего в том, что при 16 бросках выпадет ровно 8 орлов: $$ P(A)=C_{16}^{8}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{8}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{16-8}.$$ Вероятность события $B$, состоящего в том, что при 16 бросках выпадет ровно 7 орлов, равна: $$ P(B)=C_{16}^{7}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{7}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{16-7}.$$ Тогда $$\frac{P(A)}{P(B)}=\frac{C_{16}^{8}\left(\frac{1}{2}\right)^{16}}{C_{16}^{7}\left(\frac{1}{2}\right)^{16}}=\frac{\frac{16!}{8!\cdot 8!}}{\frac{16!}{7!\cdot9!}}=\frac{9}{8}=1,125.$$ Ответ $1,125$. Задача 4.3 Условие Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события <<стрелок поразит ровно две мишени>> больше вероятности события <<стрелок поразит ровно одну мишень>>? Решение Сначала найдем вероятность поразить одну отдельную мишень не более, чем за 2 выстрела. Возможны два случая: либо мишень с вероятностью 0,6 поражается с первого раза, либо сначала имеет место промах с вероятностью $1 - 0,6=0,4$, а потом попадание вторым выстрелом с вероятностью $0,6$. Тогда вероятность поразить мишень равна сумме вероятностей двух этих несовместных событий: $P=0,6+0,4\cdot 0,6=0,84$. Вероятность промахнуться по мишени при двух выстрелах равна $1-0,84=0,16$. Исход <<поразить мишень не более, чем за два выстрела>> будем считать успехом, а <<не поразить мишень за два выстрела>> — неудачей. Тогда вероятность успеха $p=0,84$, вероятность неудачи $q=0,16$. Далее воспользуемся формулой Бернулли. Найдем вероятность события $A$, состоящего в том, что стрелок поражает ровно две мишени из пяти: $$ P(A)=C_{5}^{2}\cdot 0,84^{2}\cdot 0,16^{5-2}.$$ Вероятность события $B$, состоящего в том, что стрелок поражает ровно одну мишень из пяти, равна: $$ P(B)=C_{5}^{1}\cdot 0,84^{1}\cdot 0,16^{5-1}.$$ Тогда $$\frac{P(A)}{P(B)}=\frac{C_{5}^{2}\cdot 0,84^{2}\cdot 0,16^{3}}{C_{5}^{1}\cdot 0,84^{1}\cdot 0,16^{4}}=\frac{C_{5}^{2}\cdot 0,84}{C_{5}^{1}\cdot 0,16}=\frac{\frac{5!}{2!\cdot 3!}\cdot 84}{\frac{5!}{1!\cdot4!}\cdot 16}=\frac{21}{2}=10,5.$$ Ответ $10,5$. Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Задача 4.4 Условие Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,5. Во сколько раз вероятность события <<стрелок поразит ровно пять мишеней>> больше вероятности события <<стрелок поразит ровно три мишени>>? Решение Сначала найдем вероятность поразить одну отдельную мишень не более, чем за 2 выстрела. Возможны два случая: либо мишень с вероятностью 0,5 поражается с первого раза, либо сначала имеет место промах с вероятностью $1 - 0,5=0,5$, а потом попадание вторым выстрелом с вероятностью $0,5$. Тогда вероятность поразить мишень равна сумме вероятностей двух этих несовместных событий: $P=0,5+0,5\cdot 0,5=0,75=\frac{3}{4}$. Вероятность промахнуться по мишени при двух выстрелах равна $1-0,75=0,25=\frac{1}{4}$. Исход <<поразить мишень не более, чем за два выстрела>> будем считать успехом, а <<не поразить мишень за два выстрела>> — неудачей. Тогда вероятность успеха $p=\frac{3}{4}$, вероятность неудачи $q=\frac{1}{4}$. Далее воспользуемся формулой Бернулли. Найдем вероятность события $A$, состоящего в том, что стрелок поражает ровно пять мишеней из пяти: $$ P(A)=C_{5}^{5}\cdot \left( \frac{3}{4}\right)^{5}\cdot \left( \frac{1}{4}\right)^{5-5}=\left( \frac{3}{4}\right)^{5}.$$ Вероятность события $B$, состоящего в том, что стрелок поражает ровно три мишени из пяти, равна: $$ P(B)=C_{5}^{3}\cdot \left( \frac{3}{4}\right)^{3}\cdot \left( \frac{1}{4}\right)^{5-3}.$$ Тогда $$\frac{P(A)}{P(B)}=\frac{\left( \frac{3}{4}\right)^{5}}{C_{5}^{3}\cdot \left( \frac{3}{4}\right)^{3}\cdot \...