Элементы комбинаторики: Часть 2

Задача 4.1

Условие

Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события <<выпадет ровно 5 орлов>> больше вероятности события <<выпадет ровно 4 орла>>?

Решение

Воспользуемся формулой Бернулли. Найдем вероятность события A , состоящего в том, что при 10 бросках выпадет ровно 5 орлов: P(A)=C_{10}^{5}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{5}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{10-5}. Вероятность события B , состоящего в том, что при 10 бросках выпадет ровно 4 орла, равна: P(B)=C_{10}^{4}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{4}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{10-4}. Тогда \frac{P(A)}{P(B)}=\frac{C_{10}^{5}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}}{C_{10}^{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}}=\frac{\frac{10!}{5!\cdot 5!}}{\frac{10!}{4!\cdot6!}}=\frac{6}{5}=1,2.

Ответ 1,2 .

Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение.

Задача 4.2

Условие

Симметричную монету бросают 16 раз. Во сколько раз вероятность события <<выпадет ровно 8 орлов>> больше вероятности события <<выпадет ровно 7 орлов>>.

Решение

Воспользуемся формулой Бернулли. Найдем вероятность события A , состоящего в том, что при 16 бросках выпадет ровно 8 орлов: P(A)=C_{16}^{8}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{8}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{16-8}. Вероятность события B , состоящего в том, что при 16 бросках выпадет ровно 7 орлов, равна: P(B)=C_{16}^{7}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{7}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{16-7}. Тогда \frac{P(A)}{P(B)}=\frac{C_{16}^{8}\left(\frac{1}{2}\right)^{16}}{C_{16}^{7}\left(\frac{1}{2}\right)^{16}}=\frac{\frac{16!}{8!\cdot 8!}}{\frac{16!}{7!\cdot9!}}=\frac{9}{8}=1,125.

Ответ 1,125 .

Задача 4.3

Условие

Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события <<стрелок поразит ровно две мишени>> больше вероятности события <<стрелок поразит ровно одну мишень>>?

Решение

Сначала найдем вероятность поразить одну отдельную мишень не более, чем за 2 выстрела. Возможны два случая: либо мишень с вероятностью 0,6 поражается с первого раза, либо сначала имеет место промах с вероятностью 1 - 0,6=0,4 , а потом попадание вторым выстрелом с вероятностью 0,6 . Тогда вероятность поразить мишень равна сумме вероятностей двух этих несовместных событий: P=0,6+0,4\cdot 0,6=0,84 . Вероятность промахнуться по мишени при двух выстрелах равна 1-0,84=0,16 . Исход <<поразить мишень не более, чем за два выстрела>> будем считать успехом, а <<не поразить мишень за два выстрела>> — неудачей. Тогда вероятность успеха p=0,84 , вероятность неудачи q=0,16 .

Далее воспользуемся формулой Бернулли. Найдем вероятность события A , состоящего в том, что стрелок поражает ровно две мишени из пяти: P(A)=C_{5}^{2}\cdot 0,84^{2}\cdot 0,16^{5-2}. Вероятность события B , состоящего в том, что стрелок поражает ровно одну мишень из пяти, равна: P(B)=C_{5}^{1}\cdot 0,84^{1}\cdot 0,16^{5-1}. Тогда \frac{P(A)}{P(B)}=\frac{C_{5}^{2}\cdot 0,84^{2}\cdot 0,16^{3}}{C_{5}^{1}\cdot 0,84^{1}\cdot 0,16^{4}}=\frac{C_{5}^{2}\cdot 0,84}{C_{5}^{1}\cdot 0,16}=\frac{\frac{5!}{2!\cdot 3!}\cdot 84}{\frac{5!}{1!\cdot4!}\cdot 16}=\frac{21}{2}=10,5.

Ответ 10,5 .

Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение.

Задача 4.4

Условие

Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,5. Во сколько раз вероятность события <<стрелок поразит ровно пять мишеней>> больше вероятности события <<стрелок поразит ровно три мишени>>?

Решение

Сначала найдем вероятность поразить одну отдельную мишень не более, чем за 2 выстрела. Возможны два случая: либо мишень с вероятностью 0,5 поражается с первого раза, либо сначала имеет место промах с вероятностью 1 - 0,5=0,5 , а потом попадание вторым выстрелом с вероятностью 0,5 . Тогда вероятность поразить мишень равна сумме вероятностей двух этих несовместных событий: P=0,5+0,5\cdot 0,5=0,75=\frac{3}{4} . Вероятность промахнуться по мишени при двух выстрелах равна 1-0,75=0,25=\frac{1}{4} . Исход <<поразить мишень не более, чем за два выстрела>> будем считать успехом, а <<не поразить мишень за два выстрела>> — неудачей. Тогда вероятность успеха p=\frac{3}{4} , вероятность неудачи q=\frac{1}{4} .

Далее воспользуемся формулой Бернулли. Найдем вероятность события A , состоящего в том, что стрелок поражает ровно пять мишеней из пяти: P(A)=C_{5}^{5}\cdot \left( \frac{3}{4}\right)^{5}\cdot \left( \frac{1}{4}\right)^{5-5}=\left( \frac{3}{4}\right)^{5}. Вероятность события B , состоящего в том, что стрелок поражает ровно три мишени из пяти, равна: P(B)=C_{5}^{3}\cdot \left( \frac{3}{4}\right)^{3}\cdot \left( \frac{1}{4}\right)^{5-3}. Тогда \frac{P(A)}{P(B)}=\frac{\left( \frac{3}{4}\right)^{5}}{C_{5}^{3}\cdot \left( \frac{3}{4}\right)^{3}\cdot \left( \frac{1}{4}\right)^{2}}=\frac{3^2}{C_{5}^{3}}=\frac{9}{\frac{5!}{3!\cdot2!}}=\frac{9}{10}=0,9.

Ответ 0,9 .