Элементы комбинаторики

Элементы комбинаторики При решени задач по теории вероятностей часто используются элементы комбинаторики. Рассмотрим основные понятия комбинаторики. 1. Пусть имеется $n$ различных объектов — $n$ неповторяющихся элементов некоторого множества, которые нужно расположить в каком-то определенном порядке. Произвольный упорядоченный набор $n$ неповторяющихся элементов множества из $n$ различных элементов будет называться перестановкой. Число перестановок множества из $n$ элементов равно факториалу числа $n$: $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots n$. 2. Пусть из имеющихся $n$ различных объектов ($n$ неповторяющихся элементов некоторого множества) необходимо выбрать $m$ неповторяющихся элементов и упорядочить их. Упорядоченный набор из $m$ различных элементов, выбранных из $n$ различных элементов, называется размещением. Размещения отличаются друг от друга, как составом элементов, так и порядком их следования. Число размещений равно $\frac{n!}{(n-m)!}$. 3. Пусть из имеющихся $n$ различных объектов ($n$ неповторяющихся элементов некоторого множества) необходимо выбрать $m$ неповторяющихся элементов без учета порядка. Неупорядоченный набор из $m$ различных элементов, выбранных из $n$ различных элементов, называется сочетанием. Сочетания отличаются друг от друга только составом элементов, порядок их следования не важен. Числом сочетаний равно $C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$. Отметим, что по определению считают $0!=1$. Это позволяет использовать полученные выше формулы при $m=n$. Рассмотрим примеры применения формул комбинаторики для решения задач по теории вероятностей. Схема Бернулли Пусть мы проводим серию одинаковых случайных экспериментов, в каждом из которых возможны два различных случайных исхода (например несколько раз бросаем монету). Будем считать, что при каждом повторении эксперимента вероятности наступления каждого из исходов фиксированы и не зависят от номера эксперимента, а результаты всех экспериментов попарно независимы. Один из двух возможных элементарных исходов этого эксперимента будем считать успехом, а другой — неудачей. Пусть вероятность успеха равна $p$, а вероятность неудачи равна $q=1-p$. Найдем вероятность того, что в серии из $n$ испытаний произойдет ровно $m$ успехов. Вероятность наступления одного конкретного исхода серии из $n$ испытаний, в которой произойдет ровно $m$ успехов, равна $p^m \cdot q^{n-m}$. Все такие исходы являются несовместными, равновероятными и будут отличаться друг от друга выбором номеров испытаний, в которых произошли успехи. Количество вариантов такого выбора будет равно числу сочетаний $C_n^m$. Поэтому вероятность того, что в серии из $n$ испытаний произойдет ровно $m$ успехов, определяется формулой $$ P=C_n^m\cdot p^m \cdot q^{n-m}.$$ Эта формула называется формулой Бернулли, а сама схема, в которой много раз проводится один и тот же эксперимент с двумя различными элементарными исходами, будет называться схемой Бернулли.