Смеси и примеси: Семинар 3

Задача 3.5

Условие

Имеются три смеси, составленные из трех элементов A , B и C . В первую смесь входят только элементы A и B в массовом отношении 1:2 , во вторую смесь входят только элементы B и C в массовом отношении 1:3 , в третью смесь входят только элементы A и C в массовом отношении 2:1 . В каком отношении нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полученной смеси элементы A , B и C содержались в массовом соотношении 11:3:8 ?

Решение

Пусть масса первой смеси x , тогда масса элемента A в этой смеси составляет \frac{1}{3}x , а масса элемента B - \frac{2}{3}x . Аналогично, пусть масса второй смеси равна y , тогда в ней \frac{1}{4}y элемента B и \frac{3}{4}y элемента C ; пусть масса третьей смеси равна z , тогда в ней \frac{2}{3}z элемента A и \frac{1}{3}z элемента C . Тогда в конечной смеси будет \frac{1}{3}x+\frac{2}{3}z элемента A , \frac{2}{3}x+\frac{1}{4}y элемента B и \frac{3}{4}y+\frac{1}{3}z элемента C . По условию задачи \left\{\begin{array}{l}

\frac{\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}z}{\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}y } = \frac{11}{3},\\

\frac{\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}y }{\frac{3}{4}y+\frac{1}{3}z} = \frac{3}{8}.\\

\end{array}\right. Преобразовав уравнения системы, получим \left\{\begin{array}{l}

24z=76x+33y \\

64x=3y+12z, \\

\end{array}\right. откуда найдем y=\frac{4}{3}x , z=5x . Тогда искомое отношение x:y:z=1:\frac{4}{3}:5=3:4:15.

Ответ 3:4:15 .

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится - посмотрите её решение.

Задача 3.6

Условие

Имеются три смеси, составленные из трех элементов A , B и C . В первую смесь входят только элементы A и B в массовом отношении 2:3 , во вторую смесь входят только элементы B и C в массовом отношении 1:2 , в третью смесь входят только элементы A и C в массовом отношении 2:5 . В каком отношении нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полученной смеси элементы A , B и C содержались в массовом соотношении 3:4:5 ?

Решение

Пусть масса первой смеси x , тогда масса элемента A в этой смеси составляет \frac{2}{5}x , а масса элемента B - \frac{3}{5}x . Аналогично, пусть масса второй смеси равна y , тогда в ней \frac{1}{3}y элемента B и \frac{2}{3}y элемента C ; пусть масса третьей смеси равна z , тогда в ней \frac{2}{7}z элемента A и \frac{5}{7}z элемента C . Тогда в конечной смеси будет \frac{2}{5}x+\frac{2}{7}z элемента A , \frac{3}{5}x+\frac{1}{3}y элемента B и \frac{2}{3}y+\frac{5}{7}z элемента C . По условию задачи \left\{\begin{array}{l}

\frac{\frac{2}{5}x+\frac{2}{7}z}{\frac{3}{5}x+\frac{1}{3}y } = \frac{3}{4},\\

\frac{\frac{3}{5}x+\frac{1}{3}y }{\frac{2}{3}y+\frac{5}{7}z} = \frac{4}{5}.\\

\end{array}\right. Преобразовав уравнения системы, получим \left\{\begin{array}{l}

40z=7x+35y \\

21x=7y+20z, \\

\end{array}\right. откуда найдем y=\frac{5}{7}x , z=\frac{4}{5}x . Тогда искомое отношение x:y:z=1:\frac{5}{6}:\frac{4}{5}=35:25:28.

Ответ 35:25:28 .