Смеси и примеси

Задача 3.5 Условие Имеются три смеси, составленные из трех элементов $A$, $B$ и $C$. В первую смесь входят только элементы $A$ и $B$ в массовом отношении $1:2$, во вторую смесь входят только элементы $B$ и $C$ в массовом отношении $1:3$, в третью смесь входят только элементы $A$ и $C$ в массовом отношении $2:1$. В каком отношении нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полученной смеси элементы $A$, $B$ и $C$ содержались в массовом соотношении $11:3:8$? Решение Пусть масса первой смеси $x$, тогда масса элемента $A$ в этой смеси составляет $\frac{1}{3}x$, а масса элемента $B$ - $\frac{2}{3}x$. Аналогично, пусть масса второй смеси равна $y$, тогда в ней $\frac{1}{4}y$ элемента $B$ и $\frac{3}{4}y$ элемента $C$; пусть масса третьей смеси равна $z$, тогда в ней $\frac{2}{3}z$ элемента $A$ и $\frac{1}{3}z$ элемента $C$. Тогда в конечной смеси будет $\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}z$ элемента $A$, $\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}y$ элемента $B$ и $\frac{3}{4}y+\frac{1}{3}z$ элемента $C$. По условию задачи $$ \left\{\begin{array}{l} \frac{\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}z}{\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}y } = \frac{11}{3},\\ \frac{\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}y }{\frac{3}{4}y+\frac{1}{3}z} = \frac{3}{8}.\\ \end{array}\right. $$ Преобразовав уравнения системы, получим $$ \left\{\begin{array}{l} 24z=76x+33y \\ 64x=3y+12z, \\ \end{array}\right. $$ откуда найдем $y=\frac{4}{3}x$, $z=5x$. Тогда искомое отношение $$x:y:z=1:\frac{4}{3}:5=3:4:15.$$ Ответ $3:4:15$. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится - посмотрите её решение. Задача 3.6 Условие Имеются три смеси, составленные из трех элементов $A$, $B$ и $C$. В первую смесь входят только элементы $A$ и $B$ в массовом отношении $2:3$, во вторую смесь входят только элементы $B$ и $C$ в массовом отношении $1:2$, в третью смесь входят только элементы $A$ и $C$ в массовом отношении $2:5$. В каком отношении нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полученной смеси элементы $A$, $B$ и $C$ содержались в массовом соотношении $3:4:5$? Решение Пусть масса первой смеси $x$, тогда масса элемента $A$ в этой смеси составляет $\frac{2}{5}x$, а масса элемента $B$ - $\frac{3}{5}x$. Аналогично, пусть масса второй смеси равна $y$, тогда в ней $\frac{1}{3}y$ элемента $B$ и $\frac{2}{3}y$ элемента $C$; пусть масса третьей смеси равна $z$, тогда в ней $\frac{2}{7}z$ элемента $A$ и $\frac{5}{7}z$ элемента $C$. Тогда в конечной смеси будет $\frac{2}{5}x+\frac{2}{7}z$ элемента $A$, $\frac{3}{5}x+\frac{1}{3}y$ элемента $B$ и $\frac{2}{3}y+\frac{5}{7}z$ элемента $C$. По условию задачи $$ \left\{\begin{array}{l} \frac{\frac{2}{5}x+\frac{2}{7}z}{\frac{3}{5}x+\frac{1}{3}y } = \frac{3}{4},\\ \frac{\frac{3}{5}x+\frac{1}{3}y }{\frac{2}{3}y+\frac{5}{7}z} = \frac{4}{5}.\\ \end{array}\right. $$ Преобразовав уравнения системы, получим $$ \left\{\begin{array}{l} 40z=7x+35y \\ 21x=7y+20z, \\ \end{array}\right. $$ откуда найдем $y=\frac{5}{7}x$, $z=\frac{4}{5}x$. Тогда искомое отношение $$x:y:z=1:\frac{5}{6}:\frac{4}{5}=35:25:28.$$ Ответ $35:25:28$.