Независимые события. Объединение и пересечение событий. Часть 2

Задача 3.13 Условие Стрелок стреляет по трем мишеням. Вероятность попадания в мишень первым выстрелом равна 0,5. Если стрелок промахнулся, он может выстрелить по мишени второй раз. Вероятность попадания в мишень вторым выстрелом равна 0,6. Найдите вероятность того, что стрелок поразит ровно одну мишень. Решение Вероятность поразить мишень за два выстрела складывается из вероятностей двух несовместных событий: попасть с первого выстрела с вероятноcтью 0,5 или, промахнувшись первым выстрелом, попасть со второго с вероятностью $0,5\cdot 0,6$. То есть вероятность поразить мишень за два выстрела равна $0,5+0,5\cdot 0,6=0,8$. Составим список возможных вариантов итогов стрельбы по трем мишеням (каждая из них может быть поражена или не поражена не более чем за два выстрела). Всего таких вариантов $2^3=8$: +++, ++–, +–+, +– –, –++, –+–, – –+, – – – (здесь ”+” мишень поражена, ”–” мишень не поражена). При этом все эти варианты являются несовместными событиями, однако они все не являются равновероятными, поэтому нужно найти вероятности каждого из подходящих вариантов и сложить результаты. Подходящими по условию являются варианты, при которых поражена ровно одна мишень: +– –, –+–, – –+. Учитывая, что вероятность поражения мишени равна $0,8$, а вероятность ее не поразить, соответственно, равна $1-0,8=0,2$, получим вероятности подходящих вариантов: P(+– –) = 0,8·0,2·0,2 = 0,032; P(–+–) = 0,2·0,8·0,2 = 0,032; P(– –+) = 0,2·0,2·0,8 = 0,032. Вероятность поразить ровно одну мишень будет равна сумме этих значений: $$ P(+-\,-)+P(-+-)+P(-\,-+)=3\cdot 0,032+=0,096. $$ Ответ $0,096$. Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится посмотрите её решение. Задача 3.14 Условие Стрелок стреляет по трем мишеням. Вероятность попадания в мишень первым выстрелом равна 0,4. Если стрелок промахнулся, он может выстрелить по мишени второй раз. Вероятность попадания в мишень вторым выстрелом равна 0,5. Найдите вероятность того, что стрелок поразит ровно две мишени из трех. Решение Вероятность поразить мишень за два выстрела складывается из вероятностей двух несовместных событий: попасть с первого выстрела с вероятноcтью 0,4 или, промахнувшись первым выстрелом, попасть со второго с вероятностью $0,4\cdot 0,5$. То есть вероятность поразить мишень за два выстрела равна $0,4+0,6\cdot 0,5=0,7$. Составим список возможных вариантов итогов стрельбы по трем мишеням (каждая из них может быть поражена или не поражена не более чем за два выстрела). Всего таких вариантов $2^3=8$: +++, ++–, +–+, +– –, –++, –+–, – –+, – – – (здесь ”+” мишень поражена, ”–” мишень не поражена). При этом все эти варианты являются несовместными событиями, однако они все не являются равновероятными, поэтому нужно найти вероятности каждого из подходящих вариантов и сложить результаты. Подходящими по условию являются варианты, при которых поражены ровно две мишени: ++–, +–+, –++. Учитывая, что вероятность поражения мишени равна $0,7$, а вероятность ее не поразить, соответственно, равна $1-0,7=0,3$, получим вероятности подходящих вариантов: P(++–) = 0,7·0,7·0,3 = 0,147; P(+–+) = 0,7·0,2·0,7 = 0,147; P(–++) = 0,3·0,7·0,7 = 0,147. Вероятность поразить ровно две мишени будет равна сумме этих значений: $$ P(++-)+P(+-+)+P(-++)=3\cdot 0,147+=0,441. $$ Ответ $0,441$. Рассмотрим примеры задач, в которых события не являются независимыми. Задача 3.15 Условие В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру кофе останется в обоих автоматах. Решение Рассмотрим события $A$ ”кофе закончится в первом автомате” и $B$ ”кофе закончится во втором автомате”. Тогда событие $A\cap B$ ”кофе закончится в обоих автоматах”, а событие $A\cup B$ ”кофе закончится хотя бы в одном автомате”. Известно, что $P(A)=P(B)=0,25$, а кроме того, $P(A\cap B)=0,15$. Отметим, что вероятность пересечения событий $A$ и $B$ не равна произведению их вероятностей: $$P(A)\cdot P(B)=0,25\cdot 0,25=0,0625\neq 0,15=P(A\cap B).$$ Это означает, что события $A$ и $B$ не являются независимыми и каким-то образом связаны, хотя мы и не знаем, как именно. Событие ”кофе останется в обоих автоматах” является дополнительным (противоположным) к событию ”кофе закончится хотя бы в одном автомате” (это можно наглядно показать на диаграмме Эйлера), значит его вероятность $P=1-P(A\cup B)$. По формуле сложения веротностей, вероятность объединения (суммы) двух событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их пересечения: $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,25+0,25-0,15=0,35.$$ Следовательно, вероятность дополнительного события будет равна $$P=1-0,35=0,65.$$ Ответ $0,65$. Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельн...