Независимые события. Объединение и пересечение событий. Часть 2: Часть 4

Задача 3.13

Условие

Стрелок стреляет по трем мишеням. Вероятность попадания в мишень первым выстрелом равна 0,5. Если стрелок промахнулся, он может выстрелить по мишени второй раз. Вероятность попадания в мишень вторым выстрелом равна 0,6. Найдите вероятность того, что стрелок поразит ровно одну мишень.

Решение

Вероятность поразить мишень за два выстрела складывается из вероятностей двух несовместных событий: попасть с первого выстрела с вероятноcтью 0,5 или, промахнувшись первым выстрелом, попасть со второго с вероятностью 0,5\cdot 0,6 . То есть вероятность поразить мишень за два выстрела равна 0,5+0,5\cdot 0,6=0,8 .

Составим список возможных вариантов итогов стрельбы по трем мишеням (каждая из них может быть поражена или не поражена не более чем за два выстрела). Всего таких вариантов 2^3=8 : +++, ++–, +–+, +– –, –++, –+–, – –+, – – – (здесь ”+” мишень поражена, ”–” мишень не поражена). При этом все эти варианты являются несовместными событиями, однако они все не являются равновероятными, поэтому нужно найти вероятности каждого из подходящих вариантов и сложить результаты. Подходящими по условию являются варианты, при которых поражена ровно одна мишень: +– –, –+–, – –+. Учитывая, что вероятность поражения мишени равна 0,8 , а вероятность ее не поразить, соответственно, равна 1-0,8=0,2 , получим вероятности подходящих вариантов:

P(+– –) = 0,8·0,2·0,2 = 0,032;

P(–+–) = 0,2·0,8·0,2 = 0,032;

P(– –+) = 0,2·0,2·0,8 = 0,032.

Вероятность поразить ровно одну мишень будет равна сумме этих значений: P(+-\,-)+P(-+-)+P(-\,-+)=3\cdot 0,032+=0,096.

Ответ 0,096 .

Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится посмотрите её решение.

Задача 3.14

Условие

Стрелок стреляет по трем мишеням. Вероятность попадания в мишень первым выстрелом равна 0,4. Если стрелок промахнулся, он может выстрелить по мишени второй раз. Вероятность попадания в мишень вторым выстрелом равна 0,5. Найдите вероятность того, что стрелок поразит ровно две мишени из трех.

Решение

Вероятность поразить мишень за два выстрела складывается из вероятностей двух несовместных событий: попасть с первого выстрела с вероятноcтью 0,4 или, промахнувшись первым выстрелом, попасть со второго с вероятностью 0,4\cdot 0,5 . То есть вероятность поразить мишень за два выстрела равна 0,4+0,6\cdot 0,5=0,7 .

Составим список возможных вариантов итогов стрельбы по трем мишеням (каждая из них может быть поражена или не поражена не более чем за два выстрела). Всего таких вариантов 2^3=8 : +++, ++–, +–+, +– –, –++, –+–, – –+, – – – (здесь ”+” мишень поражена, ”–” мишень не поражена). При этом все эти варианты являются несовместными событиями, однако они все не являются равновероятными, поэтому нужно найти вероятности каждого из подходящих вариантов и сложить результаты. Подходящими по условию являются варианты, при которых поражены ровно две мишени: ++–, +–+, –++. Учитывая, что вероятность поражения мишени равна 0,7 , а вероятность ее не поразить, соответственно, равна 1-0,7=0,3 , получим вероятности подходящих вариантов:

P(++–) = 0,7·0,7·0,3 = 0,147;

P(+–+) = 0,7·0,2·0,7 = 0,147;

P(–++) = 0,3·0,7·0,7 = 0,147.

Вероятность поразить ровно две мишени будет равна сумме этих значений: P(++-)+P(+-+)+P(-++)=3\cdot 0,147+=0,441.

Ответ 0,441 .

Рассмотрим примеры задач, в которых события не являются независимыми.

Задача 3.15

Условие

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру кофе останется в обоих автоматах.

Решение

Рассмотрим события A ”кофе закончится в первом автомате” и B ”кофе закончится во втором автомате”. Тогда событие A\cap B ”кофе закончится в обоих автоматах”, а событие A\cup B ”кофе закончится хотя бы в одном автомате”. Известно, что P(A)=P(B)=0,25 , а кроме того, P(A\cap B)=0,15 . Отметим, что вероятность пересечения событий A и B не равна произведению их вероятностей: P(A)\cdot P(B)=0,25\cdot 0,25=0,0625\neq 0,15=P(A\cap B). Это означает, что события A и B не являются независимыми и каким-то образом связаны, хотя мы и не знаем, как именно. Событие ”кофе останется в обоих автоматах” является дополнительным (противоположным) к событию ”кофе закончится хотя бы в одном автомате” (это можно наглядно показать на диаграмме Эйлера), значит его вероятность P=1-P(A\cup B) .

2_27 По формуле сложения веротностей, вероятность объединения (суммы) двух событий A и B равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их пересечения: P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,25+0,25-0,15=0,35. Следовательно, вероятность дополнительного события будет равна P=1-0,35=0,65.

Ответ 0,65 .

Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится посмотрите её решение.

Задача 3.16

Условие

В торговом центре два одинаковых автомата продают жвачку. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится жвачка, равна 0,4, вероятность того, что к концу дня жвачка закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что жвачка закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня жвачка останется в обоих автоматах.

Решение

Рассмотрим события A ”жвачка закончится в первом автомате” и B ”жвачка закончится во втором автомате”. Тогда событие A\cap B ”жвачка закончится в обоих автоматах”, а событие A\cup B ”жвачка закончится хотя бы в одном автомате”. Известно, что P(A)=P(B)=0,4 , а кроме того, P(A\cap B)=0,2 . События A и B не являются независимыми, так как P(A)\cdot P(B)\neq P(A\cap B) . Событие ”жвачка останется в обоих автоматах” является дополнительным (противоположным) к событию ”жвачка закончится хотя бы в одном автомате”, значит его вероятность P=1-P(A\cup B) . По формуле сложения веротностей, P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,4+0,4-0,2=0,6. Следовательно, вероятность дополнительного события будет равна P=1-0,6=0,4.

Ответ 0,4 .