Независимые события. Объединение и пересечение событий. Часть 2: Часть 3

Задача 3.9

Условие

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98? В ответе укажите наименьшее необходимое количество выстрелов.

Решение

Найдем вероятность дополнительного (противоположного) события, состоящего в том, что цель не будет уничтожена за n выстрелов. Вероятность промахнуться при первом выстреле равна 1-0,4=0,6 , а при каждом последующем 1-0,6=0,4 . Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятности этих событий. Поэтому вероятность не уничтожить цель при n выстрелах равна 0,6 \cdot 0,4^{n-1} . Тогда вероятность уничтожиь цель за n выстрелов будет равна P=1-0,6 \cdot 0,4^{n-1} , и по условию она должна быть больше, чем 0,98 . Получаем неравенство 1-0,6 \cdot 0,4^{n-1}>0,98 , или 0,6 \cdot 0,4^{n-1}< 0,02. Преобразовав это неравенство, получим \left(\frac{2}{5}\right)^ {n-1} <\frac{1}{30}. Нас интересует наименьшее натуральное решение неравенства. Последовательно проверяя значения n , равные 1, 2, 3 и т. д., находим, что искомым решением является n=5 . Следовательно, для достижения требуемой вероятности уничтожения цели необходимо сделать как минимум 5 выстрелов.

Приведем другой вариант решения.

Можно решать задачу «по действиям», рассматривая дополнительное событие. Тогда нам нужно найти наименьшее количество выстрелов, при которых вероятность того, что цель не будет уничтожена, окажется менее 1-0,98=0,02 . Вычислим вероятность того, что цель не будет уничтожена после ряда последовательных промахов:

P(1)=0,6;

P(2)=P(1)\cdot 0,4=0,24;

P(3)=P(2)\cdot0,4=0,096;

P(4)=P(3)\cdot0,4=0,0384;

P(5)=P(4)\cdot0,4=0,01536.

При n=5 вероятность того, что цель не будет уничтожена, окажется меньше 0,02, значит вероятность уничтожить цель станет больше 0,98, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени.

Ответ 5 .

Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится посмотрите её решение.

Задача 3.10

Условие

Преподаватель объясняет материал плохо подготовленному ученику. После объяснения (консультации) преподаватель дает ученику задание, и если ученик справится с заданием, то преподаватель переходит к следующей теме. В противном случае материал обсуждается еще раз. Вероятность, что удастся выполнить задание с первого раза, равна 0,5, а все последующие попытки удаются с вероятностью 0,6. За сколько консультаций удастся добиться выполнения задания с вероятностью не менее 0,9? В ответе укажите наименьшее необходимое количество консультаций.

Решение

Ученик получает задание после каждой поведенной консультации, поэтому количество его попыток справиться с заданием равно количеству консультаций. Найдем вероятность дополнительного (противоположного) события, состоящего в том, что ученик не справится с заданием за n попыток. Вероятность не справиться с заданием при первой попытке равна 1-0,5=0,5 , а при каждой последующей 1-0,6=0,4 . Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятности этих событий. Поэтому вероятность не справится с заданием за n попыток равна 0,5 \cdot 0,4^{n-1} . Тогда вероятность справится с заданием за n попыток будет равна P=1-0,5 \cdot 0,4^{n-1} , и по условию она должна быть не меньше, чем 0,9 . Получаем неравенство 1-0,5 \cdot 0,4^{n-1}\ge 0,9 , или 0,5 \cdot 0,4^{n-1}\le 0,1. Преобразовав это неравенство, получим \left(\frac{2}{5}\right)^ {n-1} \le \frac{1}{5}. Нас интересует наименьшее натуральное решение неравенства. Последовательно проверяя значения n , равные 1, 2, 3 и т. д., находим, что искомым решением является n=3 . Следовательно, для достижения требуемой вероятности выполнения задания учеником необходимо провести как минимум 3 консультации.

Приведем другой вариант решения.

Можно решать задачу «по действиям», рассматривая дополнительное событие. Тогда нам нужно найти наименьшее количество попыток, при которых вероятность того, что ученик не справится с заданием, окажется не менее 1-0,9=0,1 . Вычислим вероятность того, что не справится с заданием за несколько попыток:

P(1)=0,5;

P(2)=P(1)\cdot 0,4=0,2;

P(3)=P(2)\cdot0,4=0,08;

При n=3 вероятность того, что не справится с заданием, окажется меньше 0,1, значит вероятность того, что он справится с заданием, станет больше 0,9, поэтому достаточно трех консультаций.

Ответ 3 .

Задача 3.11

Условие

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45\% этих стекол, вторая — 55\% . Первая фабрика выпускает 3\% бракованных стекол, а вторая 1\% . Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение

Построим дерево вероятностей. Рассмотрим все возможные варианты: случайно купленное в магазине стекло может быть произведено на первой фабрике (с вероятностью \frac{45}{100}=0,45 ) или на второй фабрике (с вероятностью \frac{55}{100}=0,55 ), и в каждом из этих двух случаев стекло может как качественным, так и бракованным. В случае если стекло произведено на первой фабрике, оно может оказаться бракованным с вероятностью \frac{3}{100}=0,03 или качественным с вероятностью 1-0,03=0,97 . Если стекло произведено на второй фабрике, оно может оказаться бракованным с вероятностью \frac{1}{100}=0,01 или качественным с вероятностью 1-0,01=0,99 .

2_23 Таким образом, случайно купленное стекло может оказаться бракованным, если произведено на первой фабрике (это произойдет с вероятностью P_1=0,45\cdot 0,03 ), или на второй фабрике (с вероятностью P_2=0,55\cdot 0,01 ). Тогда искомая вероятность равна сумме этих вероятностей, так как эти события несовместные: P=P_1+P_2=0,45\cdot 0,03+0,55\cdot 0,01=0,019.

Ответ 0,019 .

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится посмотрите её решение.

Задача 3.12

Условие

Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9 . Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01 . Известно, что 5\% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Решение

Построим дерево вероятностей. Рассмотрим все возможные варианты: поступающий на анализ крови пациент может быть действительно болен гепатитом (с вероятностью \frac{5}{100}=0,05 ) или здоров (с вероятностью 1-0,05=0,95 ), и в каждом из этих двух случаев анализ крови может оказаться как положительным, так и отрицательным. В случае если пациент болен, его анализ крови может оказаться положительным с вероятностью 0,9 или отрицательным с вероятностью 1-0,9=0,1 . Если пациент здоров, его анализ крови может оказаться положительным с вероятностью 0,01 или отрицательным с вероятностью 1-0,01=0,99 .

2_24 Таким образом, анализ крови пациента может оказаться положительным, если он болен (это произойдет с вероятностью P_1=0,05\cdot 0,9 ), или если он здоров (с вероятностью P_2=0,95\cdot 0,01 ). Тогда искомая вероятность равна сумме этих вероятностей, так как эти события несовместные: P=P_1+P_2=0,05\cdot 0,9+0,95\cdot 0,01=0,0545.

Ответ 0,0545 .