Независимые события. Объединение и пересечение событий. Часть 2

Задача 3.9 Условие При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98? В ответе укажите наименьшее необходимое количество выстрелов. Решение Найдем вероятность дополнительного (противоположного) события, состоящего в том, что цель не будет уничтожена за $n$ выстрелов. Вероятность промахнуться при первом выстреле равна $1-0,4=0,6$, а при каждом последующем $1-0,6=0,4$. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятности этих событий. Поэтому вероятность не уничтожить цель при $n$ выстрелах равна $0,6 \cdot 0,4^{n-1}$. Тогда вероятность уничтожиь цель за $n$ выстрелов будет равна $P=1-0,6 \cdot 0,4^{n-1}$, и по условию она должна быть больше, чем $0,98$. Получаем неравенство $1-0,6 \cdot 0,4^{n-1}>0,98$, или $$0,6 \cdot 0,4^{n-1} Приведем другой вариант решения. Можно решать задачу «по действиям», рассматривая дополнительное событие. Тогда нам нужно найти наименьшее количество выстрелов, при которых вероятность того, что цель не будет уничтожена, окажется менее $1-0,98=0,02$. Вычислим вероятность того, что цель не будет уничтожена после ряда последовательных промахов: $P(1)=0,6;$ $P(2)=P(1)\cdot 0,4=0,24;$ $P(3)=P(2)\cdot0,4=0,096;$ $P(4)=P(3)\cdot0,4=0,0384;$ $P(5)=P(4)\cdot0,4=0,01536.$ При $n=5$ вероятность того, что цель не будет уничтожена, окажется меньше 0,02, значит вероятность уничтожить цель станет больше 0,98, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени. Ответ $5$. Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится посмотрите её решение. Задача 3.10 Условие Преподаватель объясняет материал плохо подготовленному ученику. После объяснения (консультации) преподаватель дает ученику задание, и если ученик справится с заданием, то преподаватель переходит к следующей теме. В противном случае материал обсуждается еще раз. Вероятность, что удастся выполнить задание с первого раза, равна 0,5, а все последующие попытки удаются с вероятностью 0,6. За сколько консультаций удастся добиться выполнения задания с вероятностью не менее 0,9? В ответе укажите наименьшее необходимое количество консультаций. Решение Ученик получает задание после каждой поведенной консультации, поэтому количество его попыток справиться с заданием равно количеству консультаций. Найдем вероятность дополнительного (противоположного) события, состоящего в том, что ученик не справится с заданием за $n$ попыток. Вероятность не справиться с заданием при первой попытке равна $1-0,5=0,5$, а при каждой последующей $1-0,6=0,4$. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятности этих событий. Поэтому вероятность не справится с заданием за $n$ попыток равна $0,5 \cdot 0,4^{n-1}$. Тогда вероятность справится с заданием за $n$ попыток будет равна $P=1-0,5 \cdot 0,4^{n-1}$, и по условию она должна быть не меньше, чем $0,9$. Получаем неравенство $1-0,5 \cdot 0,4^{n-1}\ge 0,9$, или $$0,5 \cdot 0,4^{n-1}\le 0,1.$$ Преобразовав это неравенство, получим $$\left(\frac{2}{5}\right)^ {n-1} \le \frac{1}{5}.$$ Нас интересует наименьшее натуральное решение неравенства. Последовательно проверяя значения $n$, равные 1, 2, 3 и т. д., находим, что искомым решением является $n=3$. Следовательно, для достижения требуемой вероятности выполнения задания учеником необходимо провести как минимум 3 консультации. Приведем другой вариант решения. Можно решать задачу «по действиям», рассматривая дополнительное событие. Тогда нам нужно найти наименьшее количество попыток, при которых вероятность того, что ученик не справится с заданием, окажется не менее $1-0,9=0,1$. Вычислим вероятность того, что не справится с заданием за несколько попыток: $P(1)=0,5;$ $P(2)=P(1)\cdot 0,4=0,2;$ $P(3)=P(2)\cdot0,4=0,08;$ При $n=3$ вероятность того, что не справится с заданием, окажется меньше 0,1, значит вероятность того, что он справится с заданием, станет больше 0,9, поэтому достаточно трех консультаций. Ответ $3$. Задача 3.11 Условие Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает $45\%$ этих стекол, вторая — $55\%$. Первая фабрика выпускает $3\%$ бракованных стекол, а вторая $1\%$. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. Решение Построим дерево вероятностей. Рассмотрим все возможные варианты: случайно купленное в магазине стекло может быть произведено на первой фабрике (с вероятностью $\frac{45}{100}=0,45$) или на второй фабрике (с вероятностью $\frac{55}{100}=0,55$), и в каждом из этих двух случаев стекло может как качественным, так и бракованным. В случае если стекло произведено на первой фабрике, оно может оказаться бракованным с вероятностью $\frac{3}{100}=0,03$ или ка...