Независимые события. Объединение и пересечение событий. Часть 2: Часть 2

Задача 3.5

Условие

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение

Построим дерево вероятностей. Рассмотрим все возможные варианты: Джон может схватить пристрелянный револьвер (с вероятностью \frac{4}{10}=0,4 ) или непристрелянный револьвер (с вероятностью \frac{10-6}{10}=0,6 ), и в каждом из этих двух случаев может как попасть в муху, так и промахнуться. В случае если револьвер пристрелянный, Джон попадает в муху с вероятностью 0,9 или промахивается с вероятностью 1-0,9=0,1 . Если револьвер непристрелянный, Джон попадает в муху с вероятностью 0,2 или промахивается с вероятностью 1-0,2=0,8 .

2_17 Таким образом, Джон может промахнуться, схватив пристрелянный револьвер (это произойдет с вероятностью P_1=0,4\cdot 0,1 ), или схватив непристрелянный револьвер (с вероятностью P_2=0,6\cdot 0,8 ). Тогда искомая вероятность равна сумме этих вероятностей, так как эти события несовместные: P=P_1+P_2=0,4\cdot 0,1+0,6\cdot 0,8=0,52.

Ответ 0,52 .

Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится посмотрите её решение.

Задача 3.6

Условие

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9 , если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,4 . На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон попадет в муху.

Решение

Построим дерево вероятностей. Рассмотрим все возможные варианты: Джон может схватить пристрелянный револьвер (с вероятностью \frac{2}{10}=0,2 ) или непристрелянный револьвер (с вероятностью \frac{10-2}{10}=0,8 ), и в каждом из этих двух случаев может как попасть в муху, так и промахнуться. В случае если револьвер пристрелянный, Джон попадает в муху с вероятностью 0,9 или промахивается с вероятностью 1-0,9=0,1 . Если револьвер непристрелянный, Джон попадает в муху с вероятностью 0,4 или промахивается с вероятностью 1-0,4=0,6 .

2_18 Таким образом, Джон может попасть в муху, схватив пристрелянный револьвер (это произойдет с вероятностью P_1=0,2\cdot 0,9 ), или схватив непристрелянный револьвер (с вероятностью P_2=0,8\cdot 0,4 ). Тогда искомая вероятность равна сумме этих вероятностей, так как эти события несовместные: P=P_1+P_2=0,2\cdot 0,9+0,8\cdot 0,4=0,5.

Ответ 0,5 .

Задача 3.7

Условие

Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).

Решение

Построим дерево вероятностей. Рассмотрим все возможные варианты: стрелок делает первый выстрел, которым он может попасть (с вероятность 0,7 ) или промахнуться (с вероятность 1-0,7=0,3 ); если же он первым выстрелом промахивается, то он делает второй выстрел, которым он также может попасть (с вероятность 0,7 ) или промахнуться (с вероятность 1-0,7=0,3 ).

2_19 Пусть A событие, состоящее в том, что мишень поражена стрелком с первого выстрела, B событие, состоящее в том, что первый раз стрелок промахнулся, а со второго выстрела поразил мишень. Вероятность события A равна P(A) = 0,7 . Событие B является произведением двух независимых событий, поэтому его вероятность равна произведению вероятностей этих событий: P(B) = 0,3\cdot 0,7 = 0,21 . Стрелок поражает мишень, если наступит событие A или событие B , то есть объединение A \cup B . События A и B являются несовместными, поэтому вероятность их объединения равна сумме вероятностей этих событий: P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0,7 + 0,21 = 0,91. Приведём еще одно решение.

Пусть C - событие, состоящее в том, что мишень не поражена, то есть стрелок промахнулся дважды. Вероятность этого события равна P(C)=0,3 \cdot 0,3=0,09 . Тогда искомая вероятность представляет собой вероятность дополнительного (противоположного) события мишень поражена. Тогда искомая вероятность равна 1-0,09=0,91 .

Ответ 0,91 .

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится посмотрите её решение.

Задача 3.8

Условие

Стрелок при каждом выстреле поражает мишень с вероятностью 0,3, независимо от результатов предыдущих выстрелов. Какова вероятность того, что он поразит мишень, сделав не более 3 выстрелов?

Решение

Построим дерево вероятностей. Рассмотрим все возможные варианты: стрелок делает первый выстрел, которым он может попасть (с вероятность 0,3 ) или промахнуться (с вероятность 1-0,3=0,7 ); если же он первым выстрелом промахивается, то он делает второй выстрел, которым он также может попасть (с вероятность 0,3 ) или промахнуться (с вероятность 0,7 ); в случае промаха и при втором выстреле он делает третий выстрел, которым он вновь может попасть (с вероятность 0,3 ) или промахнуться (с вероятность 0,7 ).

2_20 Стрелок поражает мишень в одном из трех следующих случаев: если он попадает первым выстрелом (с вероятностью 0,3 ), если он промахивается первым выстрелом, но попадает вторым (с вероятностью 0,7\cdot 0,3 = 0,21 ) или если он промахивается первым и вторым выстрелами, но попадает третьим (с вероятностью 0,7\cdot 0,7\cdot 0,3 = 0,147 ). Тогда вероятность того, что стрелок поразит мишень не более, чем за три выстрела, равна P=0,3+0,21+0,147=0,657 .

Приведём еще одно решение.

Пусть A - событие, состоящее в том, что мишень не поражена, то есть стрелок промахнулся трижды. Вероятность этого события равна P(A)=0,7 \cdot 0,7 \cdot 0,7=0,343 . Тогда искомая вероятность представляет собой вероятность дополнительного (противоположного) события мишень поражена. Тогда искомая вероятность равна 1-0,343=0,657 .

Ответ 0,657 .