Независимые события. Объединение и пересечение событий. Часть 2

Задача 3.5 Условие Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся. Решение Построим дерево вероятностей. Рассмотрим все возможные варианты: Джон может схватить пристрелянный револьвер (с вероятностью $\frac{4}{10}=0,4$) или непристрелянный револьвер (с вероятностью $\frac{10-6}{10}=0,6$), и в каждом из этих двух случаев может как попасть в муху, так и промахнуться. В случае если револьвер пристрелянный, Джон попадает в муху с вероятностью $0,9$ или промахивается с вероятностью $1-0,9=0,1$. Если револьвер непристрелянный, Джон попадает в муху с вероятностью $0,2$ или промахивается с вероятностью $1-0,2=0,8$. Таким образом, Джон может промахнуться, схватив пристрелянный револьвер (это произойдет с вероятностью $P_1=0,4\cdot 0,1$), или схватив непристрелянный револьвер (с вероятностью $P_2=0,6\cdot 0,8$). Тогда искомая вероятность равна сумме этих вероятностей, так как эти события несовместные: $$ P=P_1+P_2=0,4\cdot 0,1+0,6\cdot 0,8=0,52.$$ Ответ $0,52$. Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится посмотрите её решение. Задача 3.6 Условие Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью $0,9$, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью $0,4$. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон попадет в муху. Решение Построим дерево вероятностей. Рассмотрим все возможные варианты: Джон может схватить пристрелянный револьвер (с вероятностью $\frac{2}{10}=0,2$) или непристрелянный револьвер (с вероятностью $\frac{10-2}{10}=0,8$), и в каждом из этих двух случаев может как попасть в муху, так и промахнуться. В случае если револьвер пристрелянный, Джон попадает в муху с вероятностью $0,9$ или промахивается с вероятностью $1-0,9=0,1$. Если револьвер непристрелянный, Джон попадает в муху с вероятностью $0,4$ или промахивается с вероятностью $1-0,4=0,6$. Таким образом, Джон может попасть в муху, схватив пристрелянный револьвер (это произойдет с вероятностью $P_1=0,2\cdot 0,9$), или схватив непристрелянный револьвер (с вероятностью $P_2=0,8\cdot 0,4$). Тогда искомая вероятность равна сумме этих вероятностей, так как эти события несовместные: $$ P=P_1+P_2=0,2\cdot 0,9+0,8\cdot 0,4=0,5.$$ Ответ $0,5$. Задача 3.7 Условие Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом). Решение Построим дерево вероятностей. Рассмотрим все возможные варианты: стрелок делает первый выстрел, которым он может попасть (с вероятность $0,7$) или промахнуться (с вероятность $1-0,7=0,3$); если же он первым выстрелом промахивается, то он делает второй выстрел, которым он также может попасть (с вероятность $0,7$) или промахнуться (с вероятность $1-0,7=0,3$). Пусть $A$ событие, состоящее в том, что мишень поражена стрелком с первого выстрела, $B$ событие, состоящее в том, что первый раз стрелок промахнулся, а со второго выстрела поразил мишень. Вероятность события $A$ равна $P(A) = 0,7$. Событие $B$ является произведением двух независимых событий, поэтому его вероятность равна произведению вероятностей этих событий: $P(B) = 0,3\cdot 0,7 = 0,21$. Стрелок поражает мишень, если наступит событие $A$ или событие $B$, то есть объединение $A \cup B$. События $A$ и $B$ являются несовместными, поэтому вероятность их объединения равна сумме вероятностей этих событий: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0,7 + 0,21 = 0,91.$$ Приведём еще одно решение. Пусть $C$ - событие, состоящее в том, что мишень не поражена, то есть стрелок промахнулся дважды. Вероятность этого события равна $P(C)=0,3 \cdot 0,3=0,09$. Тогда искомая вероятность представляет собой вероятность дополнительного (противоположного) события мишень поражена. Тогда искомая вероятность равна $1-0,09=0,91$. Ответ $0,91$. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится посмотрите её решение. Задача 3.8 Условие Стрелок при каждом выстреле поражает мишень с вероятностью 0,3, независимо от результатов предыдущих выстрелов. Какова вероятность того, что он поразит мишень, сделав не более 3 выстрелов? Решение Построим дерево вероятностей. Рассмотрим все возможные варианты: стрелок делает первый выстрел, которым он может попасть (с вероятность $0,3$) или промахнуться (с вероятность $1-0,3=0,7$); если же он первым выстрелом промахивается, то он делает второй выстрел, которым он также может...