Независимые события. Объединение и пересечение событий. Часть 2: Часть 1

Задача 3.1

Условие

В классе 26 учащихся, среди них три подружки Оля, Аня и Юля. Класс случайным образом разбивают на две равные группы. Найдите вероятность того, что все девочки окажутся в одной группе.

Решение

В каждой группе будет по 13 учащихся. Первая из девочек, Оля, с вероятностью 1 окажется в одной из двух групп. После распределения Оли остается всего 26-1=25 свободных мест, из которых 13-1=12 в той же группе, в которой оказалась Оля. Тогда вероятность того, что Аня попадет на одно из 12 оставшихся мест в этой группе, равна \frac{12}{25} . После распределения Оли и Ани остается 26-2=24 свободных места, из которых 13-2=11 в той же группе, в которой оказались Оля с Аней. Вероятность того, что и Юля после этого попадет в ту же группу, что и Оля с Аней, равна \frac{11}{24} . В итоге вероятность того, что все трое окажутся в одной группе, будет равна P=1\cdot \frac{12}{25}\cdot\frac{11}{24}=0,22 , так как рассматриваемые события независимые и должны произойти одновременно.

Ответ 0,22 .

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится посмотрите её решение.

Задача 3.2

Условие

В группе туристов 15 человек, в том числе три друга Юра, Боря и Егор. Группу случайным образом разбивают на три равные подгруппы. Найдите вероятность того, что все трое окажутся в разных подгруппах. Ответ округлите до сотых.

Решение

В каждой подгруппе будет по 5 человек. Первый из друзей, Юра, с вероятностью 1 окажется в одной из трех подгрупп. После распределения Юры остается всего 15-1=14 свободных мест, из которых 5-1=4 в той же группе, в которой оказался Юра, и 10 мест в двух других подгруппах. Боря должен оказаться в какой-то другой подгруппе, вероятность того, что Боря попадет на одно из 10 свободных мест в одной из двух других подгрупп, равна \frac{10}{14} . После распределения Юры и Бори остается 15-2=13 свободных мест, из которых 5 в третьей подгруппе, в которой пока никого нет. Вероятность того, что Егор после этого попадет в третью подгруппу, равна \frac{5}{13} . В итоге вероятность того, что все трое окажутся в разных подгруппах, будет равна P=1\cdot \frac{10}{14}\cdot\frac{5}{13}=\frac{50}{182}\approx 0,27 , так как рассматриваемые события независимые и должны произойти одновременно.

Ответ 0,27 .

Задача 3.3

Условие

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 9 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 7 очков, в случае ничьей 2 очка, если проигрывает 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятность выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,2.

Решение

Рассмотрим все благоприятные события, то есть такие, при наступлении которых команда может выйти в следующий круг: выигрыш-выигрыш (7+7=14 очков); ничья-выигрыш (2+7=9 очков); выигрыш-ничья (7+2=9 очков). Сыграв обе игры вничью, команда наберет лишь 4 очка и не пройдет в следующий круг. Если команда хотя бы раз проигрывает, она наверняка не сможет пройти в следующий круг, т.к. в одной игре набрать 9 очков или более невозможно. Если вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,2, то вероятность ничьей равна 1-0,2-0,2=0,6 . Вероятность выхода в следующий круг равна сумме вероятностей перечисленных выше попарно несовместных событий. При этом результаты каждой игры независимы друг от друга, поэтому вероятность выхода в следующий круг равна P=0,2\cdot 0,2+0,6\cdot0,2+0,2\cdot0,6=0,28.

Ответ 0,28 .

Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится посмотрите её решение.

Задача 3.4

Условие

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей 1 очко, если проигрывает 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Решение

Рассмотрим все благоприятные события, то есть такие, при наступлении которых команда может выйти в следующий круг: выигрыш-выигрыш (3+3=6 очков); ничья-выигрыш (1+3=4 очка); выигрыш-ничья (3+1=4 очка). Сыграв обе игры вничью, команда наберет лишь 2 очка и не пройдет в следующий круг. Если команда хотя бы раз проигрывает, она наверняка не сможет пройти в следующий круг, т.к. в одной игре набрать 4 очка или более невозможно. Если вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4, то вероятность ничьей равна 1-0,4-0,4=0,2 . Вероятность выхода в следующий круг равна сумме вероятностей перечисленных выше попарно несовместных событий. При этом результаты каждой игры независимы друг от друга, поэтому вероятность выхода в следующий круг равна P=0,4\cdot 0,4+0,2\cdot0,4+0,4\cdot0,2=0,32.

Ответ 0,32 .