Сплавы

Задача 2.8 Условие Имеются два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве $30 \%$, а во втором - $50 \%$ золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить новый сплав, содержащий $45 \%$ золота? Решение Пусть масса первого сплава равна $M_1$, масса второго сплава равна $M_2$, тогда масса третьего сплава равна $M_1+M_2$. Масса золота в первом сплаве равна $0,3M_1$, во втором - $0,5M_2$, в третьем - $0,45(M_1+M_2)$. Используя закон сохранения массы для золота, получим уравнение $$0,3M_1+0,5M_2=0,45(M_1+M_2),$$ откуда получим $M_2=3M_1$. Таким образом, первый и второй сплавы нужно взять в отношении $\frac{M_1}{M_2}=\frac{1}{3}$. Ответ $\frac{M_1}{M_2}=\frac{1}{3}$. Задача 2.9 Условие Первый сплав серебра и меди содержит 430 г серебра и 70 г меди, а второй сплав - 210 г серебра и какое-то количество меди. Сплавили кусок первого сплава с куском массой 75 г второго сплава и получили 300 г сплава, который содержит $82\%$ серебра. Определите массу (в граммах) второго сплава. Решение Масса всего первого сплава равна $430+70=500$ г. Пусть масса меди во втором сплаве равна $x$ г, тогда масса всего второго сплава равна $(210+x)$ г. Для получения третьего сплава использовали какую-то часть первого сплава и какую-то часть второго. Так как масса третьего сплава равна 300 г, а масса взятого куска второго сплава равна 75 г, то взяли $300-75=225$ г первого сплава, то есть доля взятой массы первого сплава равна $\frac{225}{500}$. Аналогично, доля взятой массы второго сплава равна $\frac{75}{210+x}$. В конечном сплаве серебра оказалось $0,82\cdot 300$ г. Используя закон сохранения массы для серебра, получим уравнение $$\frac{225}{500}\cdot 430 + \frac{75}{210+x}\cdot 210 = 0,82\cdot 300.$$ Введем новую переменную $y=210+x$, именно ей равна масса второго сплава. Преобразовав полученное уравнение, получим $$\frac{9}{20}\cdot 430 + \frac{75\cdot 210}{y}\cdot 210 = 82\cdot 3,$$ откуда $y=300$. Ответ $300$ г. Задача 2.10 Условие Имеется сплав, состоящий из никеля, меди и марганца. Масса никеля составляет $40\%$ массы меди и марганца. Масса меди составляет $60\%$ массы никеля и марганца. Каково отношение марганца к сумме масс никеля и меди? Решение Пусть массы никеля, меди и марганца равны $x$, $y$ и $z$ соответственно. Тогда из условия задачи следует, что $$\left\{\begin{array}{l} x = 0,4(y+z),\\ y = 0,6(x+z),\\ \end{array}\right. $$ а найти требуется отношение $\frac{z}{x+y}$. Преобразовав уравнения в системе, выразим переменные $x$ и $y$ через переменную $z$: $$ \left\{\begin{array}{l} x = \frac{16}{19}z,\\ y=\frac{21}{19}z. \end{array}\right. $$ Отсюда $$\frac{z}{x+y}=\frac{z}{\frac{16}{19}z+\frac{21}{19}z}=\frac{19}{37}. $$ Ответ $\frac{19}{37}$. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится - посмотрите её решение. Задача 2.11 Условие Ювелир использовал сплав золота, серебра и платины. Золото составляло $50\%$ от массы серебра и платины, серебро составляло $80\%$ от массы золота и платины. Какой долю составляла платина от массы всего сплава? Решение Пусть массы золота, серебра и платины равны $x$, $y$ и $z$ соответственно. Тогда из условия задачи следует, что $$\left\{\begin{array}{l} x = 0,5(y+z),\\ y = 0,8(x+z),\\ \end{array}\right. $$ а найти требуется отношение $\frac{z}{x+y+z}$. Преобразовав уравнения в системе, выразим переменные $x$ и $y$ через переменную $z$: $$ \left\{\begin{array}{l} x = \frac{3}{2}z,\\ y=2z. \end{array}\right. $$ Отсюда $$\frac{z}{x+y+z}=\frac{z}{\frac{3}{2}z+2z+z}=\frac{2}{9}. $$ Ответ $\frac{2}{9}$.