Сплавы: Семинар 2

Задача 2.8

Условие

Имеются два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве 30 \% , а во втором - 50 \% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить новый сплав, содержащий 45 \% золота?

Решение

Пусть масса первого сплава равна M_1 , масса второго сплава равна M_2 , тогда масса третьего сплава равна M_1+M_2 . Масса золота в первом сплаве равна 0,3M_1 , во втором - 0,5M_2 , в третьем - 0,45(M_1+M_2) . Используя закон сохранения массы для золота, получим уравнение 0,3M_1+0,5M_2=0,45(M_1+M_2), откуда получим M_2=3M_1 . Таким образом, первый и второй сплавы нужно взять в отношении \frac{M_1}{M_2}=\frac{1}{3} .

Ответ \frac{M_1}{M_2}=\frac{1}{3} .

Задача 2.9

Условие

Первый сплав серебра и меди содержит 430 г серебра и 70 г меди, а второй сплав - 210 г серебра и какое-то количество меди. Сплавили кусок первого сплава с куском массой 75 г второго сплава и получили 300 г сплава, который содержит 82\% серебра. Определите массу (в граммах) второго сплава.

Решение

Масса всего первого сплава равна 430+70=500 г. Пусть масса меди во втором сплаве равна x г, тогда масса всего второго сплава равна (210+x) г. Для получения третьего сплава использовали какую-то часть первого сплава и какую-то часть второго. Так как масса третьего сплава равна 300 г, а масса взятого куска второго сплава равна 75 г, то взяли 300-75=225 г первого сплава, то есть доля взятой массы первого сплава равна \frac{225}{500} . Аналогично, доля взятой массы второго сплава равна \frac{75}{210+x} . В конечном сплаве серебра оказалось 0,82\cdot 300 г. Используя закон сохранения массы для серебра, получим уравнение \frac{225}{500}\cdot 430 + \frac{75}{210+x}\cdot 210 = 0,82\cdot 300. Введем новую переменную y=210+x , именно ей равна масса второго сплава. Преобразовав полученное уравнение, получим \frac{9}{20}\cdot 430 + \frac{75\cdot 210}{y}\cdot 210 = 82\cdot 3, откуда y=300 .

Ответ 300 г.

Задача 2.10

Условие

Имеется сплав, состоящий из никеля, меди и марганца. Масса никеля составляет 40\% массы меди и марганца. Масса меди составляет 60\% массы никеля и марганца. Каково отношение марганца к сумме масс никеля и меди?

Решение

Пусть массы никеля, меди и марганца равны x , y и z соответственно. Тогда из условия задачи следует, что \left\{\begin{array}{l}

x = 0,4(y+z),\\

y = 0,6(x+z),\\

\end{array}\right. а найти требуется отношение \frac{z}{x+y} . Преобразовав уравнения в системе, выразим переменные x и y через переменную z : \left\{\begin{array}{l}

x = \frac{16}{19}z,\\

y=\frac{21}{19}z.

\end{array}\right. Отсюда \frac{z}{x+y}=\frac{z}{\frac{16}{19}z+\frac{21}{19}z}=\frac{19}{37}.

Ответ \frac{19}{37} .

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится - посмотрите её решение.

Задача 2.11

Условие

Ювелир использовал сплав золота, серебра и платины. Золото составляло 50\% от массы серебра и платины, серебро составляло 80\% от массы золота и платины. Какой долю составляла платина от массы всего сплава?

Решение

Пусть массы золота, серебра и платины равны x , y и z соответственно. Тогда из условия задачи следует, что \left\{\begin{array}{l}

x = 0,5(y+z),\\

y = 0,8(x+z),\\

\end{array}\right. а найти требуется отношение \frac{z}{x+y+z} . Преобразовав уравнения в системе, выразим переменные x и y через переменную z : \left\{\begin{array}{l}

x = \frac{3}{2}z,\\

y=2z.

\end{array}\right. Отсюда \frac{z}{x+y+z}=\frac{z}{\frac{3}{2}z+2z+z}=\frac{2}{9}.

Ответ \frac{2}{9} .