Независимые события. Объединение и пересечение событий. Часть 1

Задача 2.11 Условие Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,04. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля. Решение Эту задачу удобно решить с помощью так называемого дерева вероятностей. Рассмотрим все возможные варианты: батарейка может оказаться исправной (с вероятностью $1-0,04=0,96$) или неисправной (с вероятностью $0,04$), и в каждом из этих двух случаев может как пройти контроль, так и быть забракованной. В случае если батарейка исправна, она проходит контроль с вероятностью $1-0,01=0,99$ или бракуется системой с вероятностью $0,01$. Если батарейка неисправна, то она проходит контроль с вероятностью $1-0,96=0,04$ или бракуется системой с вероятностью $0,96$. Таким образом, система контроля может забраковать батарейку в одном из двух случаев: по ошибке, если батарейка исправна (это произойдет с вероятностью $P_1=0,96\cdot 0,01$), или если она действительно неисправна (с вероятностью $P_2=0,04\cdot 0,96$). Тогда искомая вероятность равна сумме этих вероятностей, так как эти события несовместные: $$ P=P_1+P_2=0,96\cdot 0,01+0,04\cdot 0,96=0,048.$$ Ответ $0,048$. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится посмотрите её решение. Задача 2.12 Условие На фабрике изготавливают обувь для спортивной ходьбы, которая удовлетворяет требованиям с вероятностью 0,97. Перед отправкой в магазин каждая пара обуви проходит проверку контроля качества. Вероятность того, что обувь, не удовлетворяющая требованиям, будет забракована, равна 0,9. Вероятность того, что по ошибке будет забракована качественная обувь, равна 0,02. Найдите вероятность того, что случайно выбранная пара обуви будет забракована. Решение Построим дерево вероятностей. Рассмотрим все возможные варианты: обувь может оказаться подходящей для спортивной ходьбы (качественной, с вероятностью $0,97$) или неподходящей (с вероятностью $1-0,97=0,03$), и в каждом из этих двух случаев может как пройти контроль, так и быть забракованной. В случае если обувь подходящая (качественная), она проходит контроль с вероятностью $1-0,02=0,98$ или бракуется системой с вероятностью $0,02$. Если обувь неподходящая, то она проходит контроль с вероятностью $1-0,9=0,1$ или бракуется системой с вероятностью $0,9$. Таким образом, система контроля может забраковать пару обуви в одном из двух случаев: по ошибке, если обувь качественная (это произойдет с вероятностью $P_1=0,97\cdot 0,02$), или если она действительно не подходит для спортивной ходьбы (с вероятностью $P_2=0,03\cdot 0,9$). Тогда искомая вероятность равна сумме этих вероятностей, так как эти события несовместные: $$ P=P_1+P_2=0,97\cdot 0,02+0,03\cdot 0,9=0,0464.$$ Ответ $0,0464$.