Независимые события. Объединение и пересечение событий. Часть 1

Задача 2.9 Условие В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода. Решение Известно, что 3 июля погода хорошая. Составим список возможных вариантов погоды для 4, 5 и 6 июля. Всего таких вариантов $2^3=8$: OOO, OOX, OXO, OXX, XOO, XOX, XXO, XXX, из которых подходящими по условию являются варианты ООО, ОХО, ХОО, ХХО (здесь Х — хорошая погода, О — отличная погода). При этом все эти варианты являются несовместными событиями, однако они все не являются равновероятными, поэтому нужно найти вероятности каждого из подходящих вариантов и сложить результаты. Учитывая, что вероятность сохранения погоды равна $0,8$, а вероятность ее изменения, соответственно, равна $1-0,8=0,2$, получим вероятности подходящих вариантов: P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128; P(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008; P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128; P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128. Вероятность наступления отличной погоды 6 июля будет равна сумме этих значений: $$ P(\text{ХХО})+P(\text{ХОО})+P(\text{ОХО})+P(\text{ООО})=0,128+0,008+0,128+0,128=0,392. $$ Ответ $0,392$. Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится посмотрите её решение. Задача 2.10 Условие В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 5 апреля погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 8 апреля в Волшебной стране будет отличная погода. Решение Известно, что 5 апреля погода хорошая. Составим список возможных вариантов погоды для 6, 7 и 8 апреля. Всего таких вариантов $2^3=8$: OOO, OOX, OXO, OXX, XOO, XOX, XXO, XXX, из которых подходящими по условию являются варианты ООО, ОХО, ХОО, ХХО (здесь Х — хорошая погода, О — отличная погода). При этом все эти варианты являются несовместными событиями, однако они все не являются равновероятными, поэтому нужно найти вероятности каждого из подходящих вариантов и сложить результаты. Учитывая, что вероятность сохранения погоды равна $0,9$, а вероятность ее изменения, соответственно, равна $1-0,9=0,1$, получим вероятности подходящих вариантов: P(OOO) = 0,1·0,9·0,9 = 0,081; P(OXO) = 0,1·0,1·0,1 = 0,001; P(XOO) = 0,9·0,1·0,9 = 0,081; P(XXO) = 0,9·0,9·0,1 = 0,081. Вероятность наступления отличной погоды 8 апреля будет равна сумме этих значений: $$ P(\text{ХХО})+P(\text{ХОО})+P(\text{ОХО})+P(\text{ООО})=0,081+0,001+0,081+0,081=0,244. $$ Ответ $0,244$.