Независимые события. Объединение и пересечение событий. Часть 1: Часть 4

Задача 2.9

Условие

В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение

Известно, что 3 июля погода хорошая. Составим список возможных вариантов погоды для 4, 5 и 6 июля. Всего таких вариантов 2^3=8 : OOO, OOX, OXO, OXX, XOO, XOX, XXO, XXX, из которых подходящими по условию являются варианты ООО, ОХО, ХОО, ХХО (здесь Х — хорошая погода, О — отличная погода). При этом все эти варианты являются несовместными событиями, однако они все не являются равновероятными, поэтому нужно найти вероятности каждого из подходящих вариантов и сложить результаты. Учитывая, что вероятность сохранения погоды равна 0,8 , а вероятность ее изменения, соответственно, равна 1-0,8=0,2 , получим вероятности подходящих вариантов:

P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128;

P(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008;

P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128;

P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128.

Вероятность наступления отличной погоды 6 июля будет равна сумме этих значений: P(\text{ХХО})+P(\text{ХОО})+P(\text{ОХО})+P(\text{ООО})=0,128+0,008+0,128+0,128=0,392.

Ответ 0,392 .

Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится посмотрите её решение.

Задача 2.10

Условие

В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 5 апреля погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 8 апреля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение

Известно, что 5 апреля погода хорошая. Составим список возможных вариантов погоды для 6, 7 и 8 апреля. Всего таких вариантов 2^3=8 : OOO, OOX, OXO, OXX, XOO, XOX, XXO, XXX, из которых подходящими по условию являются варианты ООО, ОХО, ХОО, ХХО (здесь Х — хорошая погода, О — отличная погода). При этом все эти варианты являются несовместными событиями, однако они все не являются равновероятными, поэтому нужно найти вероятности каждого из подходящих вариантов и сложить результаты. Учитывая, что вероятность сохранения погоды равна 0,9 , а вероятность ее изменения, соответственно, равна 1-0,9=0,1 , получим вероятности подходящих вариантов:

P(OOO) = 0,1·0,9·0,9 = 0,081;

P(OXO) = 0,1·0,1·0,1 = 0,001;

P(XOO) = 0,9·0,1·0,9 = 0,081;

P(XXO) = 0,9·0,9·0,1 = 0,081.

Вероятность наступления отличной погоды 8 апреля будет равна сумме этих значений: P(\text{ХХО})+P(\text{ХОО})+P(\text{ОХО})+P(\text{ООО})=0,081+0,001+0,081+0,081=0,244.

Ответ 0,244 .