Независимые события. Объединение и пересечение событий. Часть 1

Задача 2.6 Условие Помещение освещается фонарем с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течения года равна 0,9. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит. Решение Рассмотрим три события: событие $A$ ”первая лампа перегорит”, событие $B$ ”вторая лампа перегорит”, событие $C$ ”третья лампа перегорит”. Вероятность каждого из этих событий одна и та же и равна $P(A)=P(B)=P(C)=0,9$. Каждая из ламп может перегореть или нет вне зависимости от того, перегорят или нет другие лампы. Таким образом, события $A$, $B$ и $C$ являются независимыми. По условию нам нужно найти верояность того, что хотя бы одна из ламп не перегорит. Рассмотрим событие, дополнительное (противоположное) к данному и состоящее в том, что все три лампы перегорят. Это событие представляет собой пересечение событий $A$, $B$ и $C$. Так как они являются независимыми, вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей: $ P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)=0,9\cdot 0,9\cdot 0,9=0,729$. Тогда вероятность искомого события равна $P=1-0,729=0,271$. Ответ $0,271$. Задача 2.7 Условие Симметричную монету бросают два раза. Найдите вероятность того, что решка выпадет хотя бы один раз. Решение Рассмотрим все возможные исходы двух бросков: орел и орел, орел и решка, решка и орел, решка и решка. Вероятности каждого из элементарных исходов при каждом броске одинаковы и равны $\frac{1}{2}$, а результат каждого из двух бросков не зависит от результата другого броска. Это значит, что вероятность каждого из исходов двух бросков одна и та же и вычисляется как $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$. Таким образом, все исходы двух бросков оказываются равновероятными. Мы можем каждый такой исход рассматривать как элементарный исход для эксперимента ”двукратное бросание монеты”. Поскольку все элементарные исходы такого эксперимента равновероятны, мы можем вычислить вероятность интересующего нас события как отношение количества $M$ элементарных исходов, влекущих наступление рассматриваемого составного события, и общего количества $N$ элементарных исходов в данном эксперименте. Для события ”решка выпадет хотя бы один раз” количество исходов, влекущих его наступление, $M=3$, а общее количество исходов $N=4$. Таким образом, искомая вероятность равна $P=\frac{M}{N}=\frac{3}{4}$. Мы могли бы рассуждать несколько иначе. Каждый из исходов для двух бросков мы можем рассмотреть как отдельное событие, причем все эти события являются попарно непересекающимися. Интересующее нас событие ”решка выпадет хотя бы один раз” мы можем представить как объединение трех непересекающихся событий: события $A$ ”орел при первом броске и решка при втором броске”, события $B$ ”решка при первом броске и орел при втором броске” и события $C$ ”решка при первом броске и решка при втором броске”. Вероятность их объединения равна сумме вероятностей: $ P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B) + P(C)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$. Еще один вариант решения связан с рассмотрением дополнительного (противоположного) события. Дополнительным к интересующему нас событию ”решка выпадет хотя бы один раз” будет событие ”решка не выпадет ни разу”, то есть ”выпадет два орла”, вероятность которого равна произведению вероятностей выпадения орла при первом броске и при втором броске, то есть $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$. Тогда вероятность интересующего нас события $P=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$. Ответ $\frac{3}{4}$. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится посмотрите её решение. Задача 2.8 Условие Какова вероятность, что при двукратном бросании игральной кости оба раза выпадет одинаковое число очков? Решение Выпадение каждого из чисел при каждом броске равновероятно и происходит с вероятностью $\frac{1}{6}$, а результат каждого из бросков не зависит от результата другого броска, то есть события, связанные с выпадением конкретного числа при первом броске и конкретного числа при втором броске являются независимыми. Тогда вероятность выпадения любой конкретной комбинации (пары) чисел при двух бросках будет равна произведению вероятностей выпадения каждого из чисел при одном броске, то есть $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$. При двукратном бросании игральной кости оба раза выпадет одинаковое число очков, если выпадет одна из комбинаций $(1;1),~ (2;2), ~(3;3), ~(4;4), ~(5;5)$ или $(6;6)$, причем никакие две из них одновременно выпасть не могут, то есть соответствующие события являются попарно непересекающимися, а вероятность выпадения каждой из них равна $\frac{1}{36}$. Интересующее нас событие представляется как объединение всех этих перечисленных непересекающихся событий, а значит его вероятность вычисляется как сумма вероятностей этих событий: $$P((1;1)\text{ или } (2;2)\text{ или }\ldots\text{ или }(6;6))=\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\ldots+\frac{1}{36}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.$$ Мы могли бы рассуждать иначе и рассмотреть набор всех возможных элементарных исходов для двух бросков кубика. Каждый из исхо...