Независимые события. Объединение и пересечение событий. Часть 1

Два события называются независимыми, если каждое из них может наступить вне зависимости от того, произошло ли другое событие, и кроме того их наступление не зависит от результатов предыдущих испытаний. Например, в эксперименте, в котором монету бросают несколько раз, независимыми событиями являются события <<выпадение решки при первом броске монеты>> и <<выпадение орла при втором броске монеты>>. Результат каждого броска не зависит от результата всех остальных бросков. Аналогично, в эксперименте, в котором несколько раз бросают игральную кость, независимыми событиями являются, например, события <<выпадение числа 5 при первом броске>> и <<выпадение числа 5 при втором броске>>. Вероятность одновременного наступления (пересечения) двух независимых событий $A$ и $B$ равна произведению их вероятностей: $ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Отметим, что если события $A$ и $B$ не являются независимыми, то эту формулу применять нельзя. Задача 2.3 Условие Симметричную монету бросают два раза. Найдите вероятность того, что оба раза выпадет решка. Решение Рассмотрим два события: событие $A$ ”выпадение решки при первом броске”, событие $B$ ”выпадение решки при втором броске”. Поскольку монета симметричная, выпадение решки при каждом броске равна $P(A)=P(B)=\frac{1}{2}$. Результат каждого из бросков не зависит от результата другого броска, то есть события $A$ и $B$ являются независимыми. Тогда вероятность их одновременного наступления (пересечения) равна произведению их вероятностей: $ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$. Ответ $\frac{1}{4}$. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится посмотрите её решение. Задача 2.4 Условие Игральную кость бросают два раза. Найдите вероятность того, что оба раза выпадет число 6. Решение Рассмотрим два события: событие $A$ ”выпадение числа 6 при первом броске”, событие $B$ ”выпадение числа 6 при втором броске”. Выпадение каждого из чисел при каждом броске равновероятно, причем при каждом броске количество элементарных исходов равно шести. Поэтому вероятность выпадения числа 6 при каждом броске одна и та же и равна $P(A)=P(B)=\frac{1}{6}$. Результат каждого из бросков не зависит от результата другого броска, то есть события $A$ и $B$ являются независимыми. Тогда вероятность их одновременного наступления (пересечения) равна произведению их вероятностей: $ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$. Ответ $\frac{1}{36}$. Задача 2.5 Условие Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными. Решение Рассмотрим два события: событие $A$ ”первая батарейка бракованная”, событие $B$ ”вторая батарейка бракованная”. Вероятность каждого из этих событий одна и та же и равна $P(A)=P(B)=0,06$. Каждая из батареек может оказаться бракованной или исправной вне зависимости от того, является ли исправной или бракованной другая батарейка. Таким образом, события $A$ и $B$ являются независимыми. Аналогично, являются независимыми события, дополнительные (противоположные) к событиям $A$ и $B$ соответственно, то есть события $\overline{A}$ ”первая батарейка исправная” и $\overline{B}$ ”вторая батарейка исправная”. Событие ”обе батарейки исправные” является пересечением событий $\overline{A}$ и $\overline{B}$. Так как они являются независимыми, вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей: $$ P(\overline{A}\cap \overline{B})=P(\overline{A})\cdot P(\overline{B})=\left(1-P(A)\right)\cdot \left(1-P(B)\right)=(1-0,06)\cdot (1-0,06)=0,8836.$$ Ответ $0,8836$. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится посмотрите её решение.