Независимые события. Объединение и пересечение событий. Часть 1

Независимые события. Объединение и пересечение событий Напомним, что наряду с элементарными событиями рассматриваются составные (или сложные) события, наступление которых могут повлечь несколько различных элементарных исходов. При этом элементарные исходы одновремено наступить не могут, то есть всегда в результате испытания реализуется лишь один из всех возможных элементарных исходов. Во многих ситуациях требуется рассматривать несколько составных событий, которые как могут наступить одновременно, то есть какие-то элементарные исходы влекут наступление сразу нескольких составных событий, так и может произойти только одно из рассматриваемых составных событий. Соотношения между событиями удобно представить с помощью диаграммы Эйлера: каждое составное событие изображается кругом, который ограничивает множество всех элементарных исходов, влекущих наступление данного события. Элементарные исходы, влекущие одновременно наступление нескольких составных событий, находятся на пересечении кругов, соответствущих рассматриваемым составным событиям. Пересечение событий Пересечением, или произведением событий $A$ и $B$ назовем событие, при котором события $A$ и $B$ наступают одновременно. Пересечение событий обозначается как $A \cap B$ или $A \cdot B$. Объединением, или суммой событий $A$ и $B$ назовем событие, при котором наступает хотя бы одно из двух событий $A$ или $B$, то есть либо событие $A$, либо событие $B$, либо они оба вместе. Объединение событий обозначается как $A \cup B$ или $A + B$. Объединение событий Вероятность объединения событий равна $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$ Эта формула называется формулой сложения вероятностей. Если события $A$ и $B$ не могут наступить одновременно, то есть нет таких элементарных исходов, которые одновременно бы влекли наступление событий $A$ и $B$, то эти события называются несовместными (непересекающимися). Несовместные события на диаграмме Эйлера показываются непересекающимися кругами. Несовместные события Вероятность одновременного наступления (пересечения) несовместных событий равна нулю: если $A \cap B=\emptyset$, то $P(A\cap B) = 0$. В случае несовместных событий формуля сложения вероятностей принимает более простой вид: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$, то есть вероятность наступления одного из двух несовместных событий, равна сумме их вероятностей. Эта формула обобщается на случай произвольного конечного числа попарно несовместных событий. На этом осовано решение многих задач, в которых удобно разбить рассматриваемое событие на несколько попарно несовместных (непересекающихся) событий, вычислить вероятности наступления каждого из них в отдельности и сложить результаты для получения вероятности рассматриваемого события. Задача 2.1 Условие На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме <<Вписанная окружность>>, равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Решение Рассмотрим два события: событие $A$ ”появление вопроса по теме <<Вписанная окружность>>”, событие $B$ ”появление вопроса по теме <<Параллелограмм>>”. Каждое из двух событий не является элементарным, но нам известны их вероятности $P(A)=0,2$ и $P(B)=0,15$. Нам необходимо найти вероятность того, что произойдет событие $A$ или $B$, то есть вероятность объединения этих двух событий. По условию, нет вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам. Это означает, что события $A$ и $B$ несовместны, $P(A\cap B) = 0$, а значит вероятность их объединения равна сумме вероятностей событий: $ P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0,2+0,15=0,35$. Ответ $0,35$. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится посмотрите её решение. Задача 2.2 Условие На экзамене студент может получить оценку <<отлично>> с вероятностью $0,1$, оценку <<хорошо>> с вероятностью $0,2$, а оценку <<удовлетворительно>> с вероятностью $0,5$. Какова вероятность, что студент сдаст экзамен? Решение Рассмотрим три события: событие $A$ ”получение оценки <<отлично>>”, событие $B$ ”получение оценки <<хорошо>>”, событие $C$ ”получение оценки <<удовлетворительно>>”. Известны их вероятности $P(A)=0,1$, $P(B)=0,2$ и $P(C)=0,5$. Студент сдаст экзамен, если он получит любую из этих трех оценок, то есть произойдет любое из событий $A$, $B$ или $C$. При этом никакие два из них одновременно произойти не могут, то есть события $A$, $B$ и $C$ являются попарно несовместными, то есть $P(A\cap B) = P(B\cap C) = P(A\cap C) = 0$. Тогда вероятность их объединения равна сумме вероятностей: $ P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B) + P(C)=0,1+0,2+0,5=0,8$. Ответ $0,8$.