Растворы: Семинар 1

Задача 1.10

Условие

Имеется некоторое количество раствора соли в воде. После испарения из раствора одного литра воды массовая концентрация соли возросла на 0,05, а после разведения получившегося раствора 39 литрами воды массовая концентрация соли стала в три раза меньше первоначальной. Найти массовую концентрацию соли в исходном растворе, приняв плотность воды равной 1 кг/л.

Решение

Пусть масса исходного раствора равна m кг, пусть 100p\% - его процентная концентрация, тогда масса соли в исходном растворе равна mp кг. Так как плотность воды следует принять равной 1 кг/л, то при испарении из раствора одного литра воды масса раствора стала на 1 кг меньше, то есть стала равной (m-1) кг, но масса соли в нем не изменилась. С другой стороны, концентрация раствора стала равной 100(p+0,05)\% , а значит масса соли в растворе стала равной (p+0,05)(m-1) кг. Получаем уравнение mp=(p+0,05)(m-1). После добавления 39 литров (39 кг) воды масса раствора стала равной m-1+39=m+38 кг, масса соли по-прежнему не изменилась, но, с другой стороны, концентрация раствора стала равной 100\frac{p}{3}\% и масса соли окажется равной \frac{p}{3}(m+38) кг. Получаем еще одно уравнение mp=\frac{p}{3}(m+38). Решая эти два уравнения в системе, найдем m=19 , p=0,9 .

Ответ 0,9 .

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится - посмотрите её решение.

Задача 1.11

Условие

Если смешать 8 кг и 2 кг растворов серной кислоты разной концентрации, то получим 12-ти процентный раствор кислоты. При смешивании двух одинаковых масс тех же растворов получим 15-ти процентный раствор. Определите первоначальную процентную концентрацию каждого раствора.

Решение

Пусть процентная концентрация первого раствора равна 100x\% , второго - 100y\% . Тогда в 8 кг первого раствора содержится 8x кг серной кислоты, а в 2 кг второго раствора содержится 2y кг серной кислоты. Масса смеси этих растворов будет равна 8+2=10 кг, а масса кислоты в полученном растворе составит 0,12\cdot 10 кг. При смешивании равных масс m кг этих растворов масса кислоты в конечном растворе будет равна 0,15\cdot 2m кг. Используя закон сохранения массы вещества (кислоты) при смешивании растворов, получаем систему уравнений: \left\{ \begin{array}{l}

8x+2y=1,2,\\

mx+my =0,15\cdot 2m.

\end{array} \right. Сокращая второе уравнение на m и выполняя вычисления, получаем: \left\{ \begin{array}{l}

x+y=0,3,\\

8x+2y=1,2,

\end{array}\right. откуда найдем x=0,1 , y=0,2 . Значит, процентная концентрация первого раствора была равна 10\% , а второго - 20\% .

Ответ 10\% , 20\% .

Задача 1.12

Условие

Три одинаковые пробирки наполнены до половины растворами спирта. После того, как содержимое третьей пробирки разлили поровну в первые две, объемная концентрация спирта в первой уменьшилась на 20\% от первоначальной, а во второй увеличилась на 10\% от первоначального значения. Во сколько раз первоначальный объем спирта в первой пробирке превышал первоначальный объем спирта во второй пробирке?

Решение

Пусть процентные объемные концентрации спирта в трех пробирках равны 100C_1\% , 100C_2\% , 100C_3\% соответственно, V_0 - объем пробирки. Тогда количества спирта (объемы) в каждой из пробирок соответственно равны V_1 = C_1 \cdot \frac{1}{2} V_0,~~

V_2 = C_2 \cdot \frac{1}{2} V_0,~~

V_3 = C_3 \cdot \frac{1}{2} V_0. После переливания концентрации в первых двух пробирках будут равны соответственно \begin{array}{l}

C'_1 = \frac{C_1 \cdot \frac{1}{2} V_0 + C_3 \cdot \frac{1}{4} V_0}{3/4 V_0} =

\frac{2C_1 + C_3}{3},\\

C'_2 = \frac{C_2 \cdot \frac{1}{2} V_0 + C_3 \cdot \frac{1}{4} V_0}{3/4 V_0} =

\frac{2C_2 + C_3}{3}.

\end{array} С другой стороны, по условию C'_1 = 0,8 \cdot C_1 , C'_2 = 1,1 \cdot C_2 . Таким образом, получаем систему уавнений \left\{\begin{array}{l}

\frac{2C_1 + C_3}{3} = 0,8 \cdot C_1, \\

\frac{2C_2 + C_3}{3} = 1,1 \cdot C_2. \\

\end{array}\right. Решая ее, находим \frac{C_1}{C_2} = 3,25 . Поскольку исходные объемы растворов в пробирках были одинаковы, то отношение исходных концентраций спирта в первых двух пробирках будет равно отношению исходных объемов спирта в них.

Ответ в 3,25 раза.