Растворы

Задача 1.10 Условие Имеется некоторое количество раствора соли в воде. После испарения из раствора одного литра воды массовая концентрация соли возросла на 0,05, а после разведения получившегося раствора 39 литрами воды массовая концентрация соли стала в три раза меньше первоначальной. Найти массовую концентрацию соли в исходном растворе, приняв плотность воды равной 1 кг/л. Решение Пусть масса исходного раствора равна $m$ кг, пусть $100p\%$ - его процентная концентрация, тогда масса соли в исходном растворе равна $mp$ кг. Так как плотность воды следует принять равной 1 кг/л, то при испарении из раствора одного литра воды масса раствора стала на 1 кг меньше, то есть стала равной $(m-1)$ кг, но масса соли в нем не изменилась. С другой стороны, концентрация раствора стала равной $100(p+0,05)\%$, а значит масса соли в растворе стала равной $(p+0,05)(m-1)$ кг. Получаем уравнение $$mp=(p+0,05)(m-1).$$ После добавления 39 литров (39 кг) воды масса раствора стала равной $m-1+39=m+38$ кг, масса соли по-прежнему не изменилась, но, с другой стороны, концентрация раствора стала равной $100\frac{p}{3}\%$ и масса соли окажется равной $\frac{p}{3}(m+38)$ кг. Получаем еще одно уравнение $$mp=\frac{p}{3}(m+38).$$ Решая эти два уравнения в системе, найдем $m=19$, $p=0,9$. Ответ $0,9$. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится - посмотрите её решение. Задача 1.11 Условие Если смешать 8 кг и 2 кг растворов серной кислоты разной концентрации, то получим 12-ти процентный раствор кислоты. При смешивании двух одинаковых масс тех же растворов получим 15-ти процентный раствор. Определите первоначальную процентную концентрацию каждого раствора. Решение Пусть процентная концентрация первого раствора равна $100x\%$, второго - $100y\%$. Тогда в 8 кг первого раствора содержится $8x$ кг серной кислоты, а в 2 кг второго раствора содержится $2y$ кг серной кислоты. Масса смеси этих растворов будет равна $8+2=10$ кг, а масса кислоты в полученном растворе составит $0,12\cdot 10$ кг. При смешивании равных масс $m$ кг этих растворов масса кислоты в конечном растворе будет равна $0,15\cdot 2m$ кг. Используя закон сохранения массы вещества (кислоты) при смешивании растворов, получаем систему уравнений: $$ \left\{ \begin{array}{l} 8x+2y=1,2,\\ mx+my =0,15\cdot 2m. \end{array} \right. $$ Сокращая второе уравнение на $m$ и выполняя вычисления, получаем: $$ \left\{ \begin{array}{l} x+y=0,3,\\ 8x+2y=1,2, \end{array}\right. $$ откуда найдем $x=0,1$, $y=0,2$. Значит, процентная концентрация первого раствора была равна $10\%$, а второго - $20\%$. Ответ $10\%$, $20\%$. Задача 1.12 Условие Три одинаковые пробирки наполнены до половины растворами спирта. После того, как содержимое третьей пробирки разлили поровну в первые две, объемная концентрация спирта в первой уменьшилась на $20\%$ от первоначальной, а во второй увеличилась на $10\%$ от первоначального значения. Во сколько раз первоначальный объем спирта в первой пробирке превышал первоначальный объем спирта во второй пробирке? Решение Пусть процентные объемные концентрации спирта в трех пробирках равны $100C_1\%$, $100C_2\%$, $100C_3\%$ соответственно, $V_0$ - объем пробирки. Тогда количества спирта (объемы) в каждой из пробирок соответственно равны $$ V_1 = C_1 \cdot \frac{1}{2} V_0,~~ V_2 = C_2 \cdot \frac{1}{2} V_0,~~ V_3 = C_3 \cdot \frac{1}{2} V_0. $$ После переливания концентрации в первых двух пробирках будут равны соответственно $$ \begin{array}{l} C'_1 = \frac{C_1 \cdot \frac{1}{2} V_0 + C_3 \cdot \frac{1}{4} V_0}{3/4 V_0} = \frac{2C_1 + C_3}{3},\\ C'_2 = \frac{C_2 \cdot \frac{1}{2} V_0 + C_3 \cdot \frac{1}{4} V_0}{3/4 V_0} = \frac{2C_2 + C_3}{3}. \end{array} $$ С другой стороны, по условию $C'_1 = 0,8 \cdot C_1$, $C'_2 = 1,1 \cdot C_2$. Таким образом, получаем систему уавнений $$ \left\{\begin{array}{l} \frac{2C_1 + C_3}{3} = 0,8 \cdot C_1, \\ \frac{2C_2 + C_3}{3} = 1,1 \cdot C_2. \\ \end{array}\right. $$ Решая ее, находим $\frac{C_1}{C_2} = 3,25$. Поскольку исходные объемы растворов в пробирках были одинаковы, то отношение исходных концентраций спирта в первых двух пробирках будет равно отношению исходных объемов спирта в них. Ответ в $3,25$ раза.