Растворы: Семинар 1

Задача 1.7

Условие

Имеются два сосуда с раствором щелочи разных концентраций (по объему). Первый сосуд содержит 4 л раствора, второй - 6 л раствора. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 35\% щелочи. Если же слить по 3 л из каждого сосуда, то получится раствор, содержащий a\% щелочи. Сколько литров щелочи содержит второй сосуд? Какие значения может принимать величина a ?

Решение

Пусть 100x и 100y - процентные концентрации щелочи в первом и втором сосудах соответственно. Пусть a=100b , то есть b=\frac{a}{100} . Тогда из условия задачи получаем систему: \left\{ \begin{array}{l}

4x+6y= 0,35\cdot 10,\\

3x+3y=6b.

\end{array} \right. Умножая первое уравнение на 3, а второе на 4, а затем вычитая из первого уравнения второе, найдем 6y=10,5-24b , или 6y=10,5-0,24a . Это и есть количество литров щелочи во втором сосуде. Подставляя это выражение в первое уравнение, найдем объем щелочи в первом растворе: 4x=24b-7 , или 4x=0,24a-7 .

Для определения диапазона допустимых значений величины a воспользуемся следующими соображениями: объем щелочи в каждом растворе должен быть, с одной стороны, не меньше нуля, а с другой - не превышать объема самого раствора: \left\{ \begin{array}{l}

0\le 6y\le 6,\\

0\le 4x\le 4,

\end{array} \right. то есть \left\{ \begin{array}{l}

0\le 10,5-0,24a\le 6,\\

0\le 0,24a-7\le 4,

\end{array} \right. Решая каждое из этих двойных неравенств, получим \left\{ \begin{array}{l}

\frac{75}{4}\le a\le \frac{175}{4},\\

\frac{175}{6}\le a\le \frac{275}{6},

\end{array} \right. откуда в итоге найдем \frac{175}{6}\le a\le \frac{175}{4}.

Ответ 10,5-0,24a ; a \in \left[\frac{175}{6}; \; \frac{175}{4}\right] .

Рассмотрим задачу расчета концентрации раствора в общем виде.

Задача 1.8

Условие

В сосуде, объем которого равен V_0 л, содержится p -процентный раствор соли. Из сосуда выливается a л смеси и добавляется a л воды, после чего раствор перемешивается. Эта процедура повторяется n раз. Спрашивается, по какому закону меняется концентрация соли в сосуде, то есть какова будет концентрация соли после n процедур?

Решение

Процентная концентрация исходного раствора равна 100p\% . Количество соли, оставшееся в растворе после того, как из сосуда первый раз вылили a л, равно p(V_0 - a) . Доливая чистую воду, мы не добавляем соли, поэтому в целом после первой процедуры количество соли будет именно p(V_0 - a) . Отсюда следует, что концентрация соли в растворе после первой процедуры будет равна p_1 = \frac{p(V_0 - a)}{V_0} = p \left( 1 - \frac{a}{V_0} \right). Аналогично, концентрация соли после второй процедуры p_2 = \frac{p_1 (V_0 - a)}{V_0} = p_1 \left( 1 - \frac{a}{V_0} \right) =

p \left( 1 - \frac{a}{V_0} \right)^2. Продолжая эти рассуждения, приходим к общей формуле p_n = p \left( 1 - \frac{a}{V_0} \right)^n.

Ответ p_n = p \left( 1 - \frac{a}{V_0} \right)^n .

Задача 1.9

Условие

Профессор Илья Ефимович решил засолить огурцы, но ошибся с пропорцией соли в рассоле. Его супруга Юлия Сергеевна попеняла ему за рассеяность и порекомендовала отлить половину рассола, а оставшийся объем заполнить чистой водой. Но рассол все равно остался чересчур соленым, и эту процедуру пришлось повторить несколько раз, пока не получилась нужная концентрация соли, в 16 раз меньшая, чем в исходном рассоле. Сколько раз пришлось повторить процедуру?

Решение

Используем формулу p_n = p \left( 1 - \frac{a}{V_0} \right)^n, полученную в предыдущей задаче, для случая a=\frac{1}{2}V_0 . Тогда \frac{a}{V_0}=\frac{1}{2} , p_n = p \left( 1 - \frac{1}{2} \right)^n=p\cdot \left(\frac{1}{2} \right)^n. Так как концентрация соли уменьшилась в 16 раз, то \frac{p_n}{p}=\frac{1}{16}=\frac{1}{2^n}, откуда n=4 .

Ответ 4 раза.