Растворы

Задача 1.7 Условие Имеются два сосуда с раствором щелочи разных концентраций (по объему). Первый сосуд содержит 4 л раствора, второй - 6 л раствора. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий $35\%$ щелочи. Если же слить по 3 л из каждого сосуда, то получится раствор, содержащий $a\%$ щелочи. Сколько литров щелочи содержит второй сосуд? Какие значения может принимать величина $a$? Решение Пусть $100x$ и $100y$ - процентные концентрации щелочи в первом и втором сосудах соответственно. Пусть $a=100b$, то есть $b=\frac{a}{100}$. Тогда из условия задачи получаем систему: $$ \left\{ \begin{array}{l} 4x+6y= 0,35\cdot 10,\\ 3x+3y=6b. \end{array} \right. $$ Умножая первое уравнение на 3, а второе на 4, а затем вычитая из первого уравнения второе, найдем $6y=10,5-24b$, или $6y=10,5-0,24a$. Это и есть количество литров щелочи во втором сосуде. Подставляя это выражение в первое уравнение, найдем объем щелочи в первом растворе: $4x=24b-7$, или $4x=0,24a-7$. Для определения диапазона допустимых значений величины $a$ воспользуемся следующими соображениями: объем щелочи в каждом растворе должен быть, с одной стороны, не меньше нуля, а с другой - не превышать объема самого раствора: $$ \left\{ \begin{array}{l} 0\le 6y\le 6,\\ 0\le 4x\le 4, \end{array} \right. $$ то есть $$ \left\{ \begin{array}{l} 0\le 10,5-0,24a\le 6,\\ 0\le 0,24a-7\le 4, \end{array} \right. $$ Решая каждое из этих двойных неравенств, получим $$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{75}{4}\le a\le \frac{175}{4},\\ \frac{175}{6}\le a\le \frac{275}{6}, \end{array} \right. $$ откуда в итоге найдем $$\frac{175}{6}\le a\le \frac{175}{4}.$$ Ответ $10,5-0,24a$; $a \in \left[\frac{175}{6}; \; \frac{175}{4}\right]$. Рассмотрим задачу расчета концентрации раствора в общем виде. Задача 1.8 Условие В сосуде, объем которого равен $V_0$ л, содержится $p$-процентный раствор соли. Из сосуда выливается $a$ л смеси и добавляется $a$ л воды, после чего раствор перемешивается. Эта процедура повторяется $n$ раз. Спрашивается, по какому закону меняется концентрация соли в сосуде, то есть какова будет концентрация соли после $n$ процедур? Решение Процентная концентрация исходного раствора равна $100p\%$. Количество соли, оставшееся в растворе после того, как из сосуда первый раз вылили $a$ л, равно $p(V_0 - a)$. Доливая чистую воду, мы не добавляем соли, поэтому в целом после первой процедуры количество соли будет именно $p(V_0 - a)$. Отсюда следует, что концентрация соли в растворе после первой процедуры будет равна $$ p_1 = \frac{p(V_0 - a)}{V_0} = p \left( 1 - \frac{a}{V_0} \right). $$ Аналогично, концентрация соли после второй процедуры $$ p_2 = \frac{p_1 (V_0 - a)}{V_0} = p_1 \left( 1 - \frac{a}{V_0} \right) = p \left( 1 - \frac{a}{V_0} \right)^2. $$ Продолжая эти рассуждения, приходим к общей формуле $$ p_n = p \left( 1 - \frac{a}{V_0} \right)^n. $$ Ответ $p_n = p \left( 1 - \frac{a}{V_0} \right)^n$. Задача 1.9 Условие Профессор Илья Ефимович решил засолить огурцы, но ошибся с пропорцией соли в рассоле. Его супруга Юлия Сергеевна попеняла ему за рассеяность и порекомендовала отлить половину рассола, а оставшийся объем заполнить чистой водой. Но рассол все равно остался чересчур соленым, и эту процедуру пришлось повторить несколько раз, пока не получилась нужная концентрация соли, в 16 раз меньшая, чем в исходном рассоле. Сколько раз пришлось повторить процедуру? Решение Используем формулу $$p_n = p \left( 1 - \frac{a}{V_0} \right)^n,$$ полученную в предыдущей задаче, для случая $a=\frac{1}{2}V_0$. Тогда $\frac{a}{V_0}=\frac{1}{2}$, $$p_n = p \left( 1 - \frac{1}{2} \right)^n=p\cdot \left(\frac{1}{2} \right)^n.$$ Так как концентрация соли уменьшилась в 16 раз, то $$\frac{p_n}{p}=\frac{1}{16}=\frac{1}{2^n},$$ откуда $n=4$. Ответ $4$ раза.