Работа и производительность труда

Задача 1.7 Условие Двум сотрудникам издательства поручили отредактировать рукопись объемом 560 страниц. Один сотрудник, отдав второму 480 страниц рукописи, взял остальные страницы себе и выполнил свою часть работы за время в 8 раз меньшее, чем второй - свою. На сколько страниц меньше первый сотрудник должен был отдать второму (добавив их себе), чтобы они, работая с прежней производительностью, выполнили свою работу за одинаковое время? Решение Нам не указаны конкретные единицы измерения времени, поэтому выберем их самостоятельно, например, дни. Второй сотрудник получил 480 страниц, а первый, соответственно, $560-480=80$ страниц. Пусть производительности сотрудников равны соответственно $x$ и $y$ страниц в день. С такой производительностью первый сотрудник набрал 80 страниц за некоторое количество $t$ дней, а второй - за $8t$ дней свои 480 страниц. Получим систему уравнений: $$ \left\{\begin{array}{l} x\cdot t=80,\\ y\cdot 8t=480. \end{array} \right. $$ Поделив второе уравнение на первое, найдем соотношение $x$ и $y$: $\frac{x}{y}=\frac{3}{4}$, или $y=\frac{3}{4}x$. Пусть теперь оба сотрудника с той же производительностью работают вместе одинаковое число дней $t_2$, редактируя за это время всю рукопись, то есть 560 страниц. Тогда $x t_2+\frac{3}{4}xt_2=560$, откуда $xt_2=320$. Полученное значение $xt_2$ - это количество страниц, который отредактировал бы первый сотрудник в случае, если бы оба сотрудника выполнили свою работу за одинаковое время. Значит, первый сотрудник должен был добавить себе $320-80=240$ страниц, отдав второму сотруднику на это же количество страниц меньше. Ответ $240$. Задача 1.8 Условие Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа? Решение Нам не сказано, в каких единицах измеряется работа, поэтому мы можем измерять ее в некоторых условных единицах. Пусть производительность каждого из рабочих равна соответственно $x$ единиц в час. Первый рабочий, работая один, за 3 часа выполнил $3x$ единиц работы. Затем, работая вместе с производительностью $2x$, они за некоторое время $t$ часов выполнили $2xt$ единиц работы, причем в итоге они выполнили целиком весь заказ, то есть 1 единицу работы: $3x+2xt=1$. При этом каждый рабочий выполняет заказ (то есть 1 единицу работы) за 15 часов, значит $x=\frac{1}{15}$ ед/ч. Тогда $\frac{3}{15}+2t\cdot \frac{1}{15}=1$, откуда $t=6$ часов. Тогда на выполнение всего заказа им потребовалось $3+6=9$ часов. Ответ $9$. Задача 1.9 Условие Два фермера, работая вместе, могут вспахать поле за 25 ч. Производительности труда первого и второго фермеров относятся как 2:5. Фермеры планируют работать поочередно. Сколько времени должен проработать второй фермер, чтобы это поле было вспахано за 45,5 ч? Решение Нам не сказано, в каких единицах измеряется работа, поэтому мы можем измерять ее в некоторых условных единицах. Так как производительности труда первого и второго фермеров относятся как 2:5, обозначим их соответственно $2x$ и $5x$ единиц в час. Работая вместе с производительностью $2x+5x=7x$, за 25 часов они смогут вспахать все поле (то есть 1 единицу работы), значит $7x \cdot 25=1$, откуда $x=\frac{1}{7\cdot 25}$ ед/ч. Фермеры планируют работать поочередно. Пусть первый фермер проработает некоторое время $t$ часов, за это время он выполнит $2xt$ единиц работы. Так как все поле должно быть вспахано за 45,5 часов, то второй фермер должен будет проработать $(45,5-t)$ часов, выполнив за это время $5x(45,5-t)$ единиц работы. Вместе оба фермера должны таким образом вспахать все поле (то есть 1 единицу работы), значит $$2xt+5x(45,5-t)=1.$$ Подставляя в это уравнение найденное значение $x$, получим линейное уравнение относительно $t$: $$2t+5(45,5-t)=7\cdot 25.$$ Решая его, найдем $t=17,5$. Тогда второй фермер должен будет проработать $45,5-17,5=28$ часов. Ответ $28$. Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится - посмотрите её решение.