Работа и производительность труда

Задача 1.4 Условие Игорь и Паша красят забор за 24 часа. Паша и Володя красят этот же забор за 28 часов, а Володя и Игорь — за 56 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем? Решение Нам не сказано, в каких единицах измеряется работа, поэтому мы можем измерять ее в некоторых условных единицах (заборах). Пусть производительности труда Игоря, Паши и Володи равны $p_1$, $p_2$ и $p_3$ единиц в час соответственно. Тогда Игорь и Паша, работая вместе с производительностью $\left(p_1 + p_2 \right)$ ед/ч, за 28 часов красят 1 забор (т.е. выполняют 1 единицу работы), Паша и Володя, работая вместе с производительностью $\left(p_2 + p_3 \right)$ ед/ч, красят тот же 1 забор за 28 часов, а Володя и Игорь вместе - с производительностью $\left(p_1 + p_3 \right)$ ед/ч красят такой же 1 забор за 56 часов. Получим систему уравнений: $$ \left\{\begin{array}{l} 24\left(p_1 + p_2 \right) = 1, \\ 28\left(p_2 + p_3 \right) = 1, \\ 56\left(p_1 + p_3 \right) = 1, \end{array} \right. $$ или $$ \left\{\begin{array}{l} p_1 + p_2 = \frac{1}{24}, \\ p_2 + p_3 = \frac{1}{28},\\ p_1 + p_3 = \frac{1}{56}. \end{array} \right. $$ Необходимо найти время, за которое они, работая втроем с производительностью $p_1+p_2+p_3$ ед/ч, покрасят 1 забор, то есть величину $\frac{1}{p_1+p_2+p_3}$. Сложив все три уравнения системы, получим $$ 2 p_1 + 2p_2 +2 p_3=\frac{1}{24}+\frac{1}{28}+\frac{1}{56},$$ откуда $$2\left(p_1+p_2+p_3\right)=\frac{2}{21}, $$ или $$p_1+p_2+p_3=\frac{1}{21}. $$ Таким образом, время, за которое они, работая втроем, покрасят 1 забор, равно $\frac{1}{p_1+p_2+p_3}=21$ час. Ответ $21$. Теперь попробуйте решить самостоятельно следующую аналогичную задачу. Если не получится - посмотрите её решение. Задача 1.5 Условие Первый и второй насосы наполняют бассейн за 10 минут, второй и третий - за 15 минут, а первый и третий - за 24 минуты. За сколько минут три этих насоса заполнят бассейн, работая вместе? Решение Нам не сказано, в каких единицах измеряется работа, поэтому мы можем измерять ее в некоторых условных единицах (бассейнах). Пусть производительности насосов равны $p_1$, $p_2$ и $p_3$ единиц в минуту соответственно. Тогда первый и второй насосы, работая вместе с производительностью $\left(p_1 + p_2 \right)$ ед/мин, за 10 минут наполняют 1 бассейн (т.е. выполняют 1 единицу работы), второй и третий насосы, работая вместе с производительностью $\left(p_2 + p_3 \right)$ ед/мин, наполняют тот же 1 бассейн за 15 минут, а первый и третий насосы вместе - с производительностью $\left(p_1 + p_3 \right)$ ед/мин наполняют такой же 1 бассейн за 24 минуты. Выражая производительности как отношение выполненной работы к затраченному времени, получим систему уравнений: $$ \left\{\begin{array}{l} p_1 + p_2 = \frac{1}{10}, \\ p_2 + p_3 = \frac{1}{15},\\ p_1 + p_3 = \frac{1}{24}. \end{array} \right. $$ Необходимо найти время, за которое все три насоса вместе, работая с производительностью $p_1+p_2+p_3$ ед/мин, наполнят 1 бассейн, то есть величину $\frac{1}{p_1+p_2+p_3}$. Сложив все три уравнения системы, получим $$ 2 p_1 + 2p_2 +2 p_3=\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{24},$$ откуда $$2\left(p_1+p_2+p_3\right)=\frac{5}{24}, $$ или $$p_1+p_2+p_3=\frac{5}{48}. $$ Таким образом, время, за которое все три насоса вместе наполнят 1 бассейн, равно $\frac{1}{p_1+p_2+p_3}=\frac{48}{5}=9,6$ минуты. Ответ $9,6$. Задача 1.6 Условие Двум операторам поручили набрать на компьютере текст книги объемом 315 страниц. Один оператор, отдав второму 144 страницы книги, взял остальные страницы себе. Первый выполнил свою работу за 19 дней, а второй свою - за 12. На сколько процентов нужно было увеличить часть работы второго оператора (уменьшив часть работы первого), чтобы они, работая с прежней производительностью, выполнили свою работу за одинаковое число дней? Решение Пусть производительности операторов равны соответственно $x$ и $y$ страниц в день. С такой производительностью второй оператор набрал за 12 дней 144 страницы, а первый - за 19 дней $315-144=171$ страницу. Отсюда найдем производительности операторов: $x= \frac{171}{19} = 9$, $y=\frac{144}{12} = 12$ (в страницах в день). Пусть теперь операторы с той же производительностью работают вместе одинаковое число дней $t$, набирая за это время всю книгу, то есть 315 страниц. Тогда $9t+12t=315$, откуда $t=15$ дней. За эти 15 дней второй оператор наберет $12\cdot 15=180$ страниц. Нужно найти, на сколько процентов это число будет больше, чем 144 (фактически набранное вторым оператором число страниц): $$\frac{180-144}{144}\cdot 100\% = \frac{36}{144}\cdot 100\% = 25\%. $$ Ответ $25$. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится - посмотрите её решение.