Понятие вероятности, вероятность элементарных событий

Понятие вероятности, вероятность элементарных событий Базовым понятием теории вероятностей является понятие события. Под событием понимается некоторый результат испытания или эксперимента. Событие называется случайным, если оно в результате испытания может как произойти, так и не произойти, причем мы заранее не знаем, произойдет оно или нет. Например, если бросить монету, она упадет одной из двух сторон вверх выпадет орел или решка. Событие <<выпал орел>> (как и событие <<выпала решка>>) является случайным и может как произойти, так и не произойти. При бросании игральной кости шестигранного кубика, на каждой грани которого написано число от 1 до 6 случайным является результат броска, то есть выпадение на верхней грани при броске конкретного числа от 1 до 6. Среди всех событий следует выделить понятие элементарного события. Элементарным называется событие, которое нельзя разбить на более простые. Например, при бросании игральной кости элементарными событиями будут события <<выпало число 1>>, <<выпало число 2>>, <<выпало число 3>> и т.д. до события <<выпало число 6>>. Таким образом, в этом испытании возможны шесть различных элементарных событий (или элементарных исходов). В результате испытания обязательно происходит одно из элементарных событий. Приведем также пример события, которое не является элементарным. Например, при бросании игральной кости элементарным не является событие <<выпало четное число>>. Такое событие называется сложным, или составным, оно может быть разбито на более простые события: <<выпало число 2>>, <<выпало число 4>>, <<выпало число 6>>, каждое из которых является элементарным. В этом случае говорят, что каждое из указанных элементарных событий влечет наступление составного события. С другой стороны, есть и такие элементарные события (например, событие <<выпало число 3>>), которые не влекут наступление рассматриваемого составного события <<выпало четное число>>. Для математического описания случайных событий используется понятие вероятности. Вероятность события это число $p$, $0\leq p\leq 1$, которое определяет шанс, что данное конкретное событие произойдет в результате конкретного эксперимента со случайным исходом. Если событие наверняка не произойдет в результате некоторого эксперимента, оно называется невозможным, а его вероятность считается равной нулю. Например, таким событием является выпадение числа 7 при бросании игральной кости. Наоборот, если событие наверняка произойдет, оно называется достоверным, а его вероятность считается равной единице. Рассмотрим простейшие примеры. При броске симметричной монеты она наверняка упадет одной из двух сторон вверх это достоверное событие. При этом возможны два элементарных исхода выпадение орла и выпадение решки. Никакой из двух исходов не является предпочтительным, поэтому мы считаем, что эти исходы равновероятны, и вероятность каждого из них равна $1/2$. При бросании симметричной игральной кости возможны 6 элементарных исходов выпадение одного из чисел от 1 до 6 на верхней грани. Никакая из граней не является предпочтительной, поэтому эти исходы равновероятны, и вероятность каждого из них равна $1/6$. Если в результате некоторого эксперимента со случайным исходом могут произойти $N$ различных элементарных событий, причем все они равновероятны, то вероятность каждого из них равна $1/N$. Задача 1.1 Условие При жеребьевке на соревнованиях случайным образом распределяются номера двадцати участников. Какова вероятность того, что первый участник получит последний номер? Решение В данном случае элементаным исходом (событием) является получение конкретным участником конкретного номера от 1 до 20. Таким образом, всего есть $N=20$ равновероятных элементарных исходов (событий). Следовательно, вероятность получения конкретным участником последнего номера равна $p=\frac{1}{N}=\frac{1}{20}$. Ответ $\frac{1}{20}$. Задача 1.2 Условие Какова вероятность выбросить число 3 при однократном бросании игральной кости? Решение В данном случае элементаным исходом является выпадение конкретного числа от 1 до 6. Таким образом, всего есть $N=6$ равновероятных элементарных исходов. Следовательно, вероятность выпадения числа 3 равна $p=\frac{1}{N}=\frac{1}{6}$. Ответ $\frac{1}{6}$. Рассмотрим далее примеры задач, в которых нас будет интересовать вероятность составного события, наступление которого влечет несколько различных элементарных исходов. Вероятность составного события равна сумме вероятностей элементарных исходов, влекущих наступление рассматриваемого события. При этом, если все элементарные исходы в эксперименте равновероятны, то вероятность составного события можно вычислить как частное числа $M$ элементарных исходов, влекущих наступление данного события, и общего числа $N$ различных возможных элементраных исходов в этом эксперименте: $P=\frac{M}{N}$.