Просто движение Часть 2: Просто движение

Задача 5

Условие

Выйдя из дома, Крош и Бараш пустились наперегонки по тропинке к озеру. Бараш все время бежал с постоянной скоростью v, а Крош вначале решил дать фору Барашу и первую четверть пути двигался со скоростью 0,8 \vartheta , затем увеличил ее до 1,5 \vartheta , но в конце пути устал и побежал со скоростью 0,9 \vartheta , проиграв в результате Барашу. Какой могла быть длина второго участка, пройденного Крошем, если он догнал Бараша через время \tau после старта, и на какое максимальное время t_{0} Бараш мог опередить Кроша на финише?

Решение

24 S_{К} = S_{Б} = \vartheta \tau - до обгона. 2) Для Кроша:

\begin{gathered}

t_{1 К}+t_{2 К}=\tau \quad \Rightarrow \quad

\frac{S}{4 \cdot 0,8 \vartheta}+\frac{\left(\vartheta \tau-\frac{S}{4}\right)}{1,5 \vartheta}-\frac{S}{1,5 \vartheta 4}=\tau \quad \Rightarrow \\

\Rightarrow \quad \frac{S}{3,2 \vartheta}+\frac{\tau}{1,5 \vartheta}-\frac{S}{1,5 \vartheta 4}=\tau \quad \Rightarrow \quad

\frac{S}{3,2 \vartheta}+\frac{S}{60}=\tau-\frac{\tau}{1,5} \quad \Rightarrow \\

\Rightarrow \quad \frac{S}{\vartheta}\left(\frac{1}{3,2}-\frac{1}{6}\right)=\tau=\left(1-\frac{1}{1,5}\right) \quad \Rightarrow \quad

\frac{S}{\vartheta} \cdot \frac{(6-3,2)}{3,2 \cdot 6}=\tau \frac{0,5}{1,5} \quad \Rightarrow \quad

\frac{S}{\vartheta} \cdot \frac{2,8}{19,2}=\tau \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \\

\Rightarrow \quad \frac{S}{\vartheta}=\frac{19,2 \tau}{3 \cdot 2,8} \quad \Rightarrow \quad

\frac{S}{\vartheta}=\frac{19,2 \tau}{8,4} \quad \Rightarrow \quad

\frac{S}{\vartheta}=\frac{192 \tau / 4}{84 / 4} \quad \Rightarrow \quad

\frac{S}{\vartheta}=\frac{48 \tau / 3}{21 / 3} \quad \Rightarrow \\

\Rightarrow \quad\frac{S}{\vartheta}=\frac{16 \tau}{7} \quad \Rightarrow \quad S=\frac{16 \vartheta \tau}{7}.

\end{gathered} 3) Общее время движения Бараша:

t_{\text {общ } Б}=\frac{S}{\vartheta}=\frac{16 \vartheta \tau}{7 \vartheta}=\frac{16 \tau}{7}. 4) Время движения Кроша на 1-ом участке:

t_{1 К}=\frac{S}{4 \cdot 0,8 \vartheta}=\frac{1}{4 \cdot 0,8} \cdot \frac{S}{\vartheta}=\frac{1}{4 \cdot 0,8} \cdot \frac{16 \tau}{7}=\frac{1}{4 \cdot 0,2} \cdot \frac{8 \tau}{7}=\frac{5 \tau}{7}. 5) Длина 2-ого участка будет max, когда Бараш обгонит Кроша практически на финише (тогда время разрыва финиша по времени будет \min )

\begin{gathered}\text { Время движения Кроша } \\ \text { на } S_{2} \text { с } 1,5 \vartheta\end{gathered} + \begin{gathered}\text { Время движения Кроша } \\ \text { на } S_{3}=S-\frac{S}{4} \text { с } 0,9 \vartheta\end{gathered}=\begin{gathered}\text { Время движения } \\ \text { Бараша }\end{gathered}-\begin{gathered}\text { Время движения } \\ \text { Кроша на } S_{1}\end{gathered} \begin{gathered}

\frac{S_{2 \max }}{1,5 \vartheta}+\frac{S-\frac{S}{4}-S_{2 \max }}{0,9 \vartheta}=\frac{S}{\vartheta}-t_{1 К} \quad \Rightarrow \quad \frac{S_{2 \max }}{1,5 \vartheta}+\frac{\frac{3 S}{4}-S_{2 \max }}{0,9 \vartheta}=\frac{S}{\vartheta}-\frac{5 \tau}{7} \quad \Rightarrow \\

\Rightarrow \quad \frac{10 S_{2 \max }}{15 \vartheta}+\frac{3}{4 \cdot 0,9} \cdot \frac{S}{\vartheta}-\frac{S_{2 \max }}{0,9 \vartheta}=\frac{16 \tau}{7}-\frac{5 \tau}{7} \quad \Rightarrow \quad \frac{10 S_{2 \max }}{15 \vartheta}-\frac{10 S_{2 \max }}{9 \vartheta}+\frac{3}{4 \cdot 0,9} \cdot \frac{16 \tau}{7}=\frac{11 \tau}{7} \quad \Rightarrow \\

\Rightarrow \quad \frac{30 S_{2 \max }}{45 \vartheta}-\frac{50 S_{2 \max }}{45 \vartheta}+\frac{10 \cdot 4 \tau}{3 \cdot 7}=\frac{11 \tau}{7} \quad \Rightarrow \quad \frac{10 \cdot 4 \tau}{3 \cdot 7}-\frac{11 \tau}{7}=\frac{50 S_{2 \max }}{45 \vartheta}-\frac{30 S_{2 \max }}{45 \vartheta} \quad \Rightarrow \\

\Rightarrow \quad \frac{40 \tau-33 \tau}{3 \cdot 7}=\frac{20 S_{2 \max }}{45 \vartheta} \quad \Rightarrow \quad \frac{7 \tau}{3 \cdot 7}=\frac{4 S_{2 \max }}{9 \vartheta} \quad \Rightarrow \quad \frac{\tau}{3}=\frac{4 S_{2 \max }}{9 \vartheta} \quad \Rightarrow \\

\Rightarrow \quad \tau=\frac{4 S_{2 \max }}{3 \vartheta} \quad \Rightarrow \quad S_{2 \max }=\frac{3 \tau \vartheta}{4}-\text { длина участка Кроша со скоростью } 1,5 \vartheta

\end{gathered} 6) Длина 2-ого участка будет \min , когда Крош закончит движение со скоростью 1,5 \vartheta в момент обгона Бараша (в момент времени \tau ). Т.е. финиш состоится через \tau , тогда последний участок будет равен 0.

\begin{gathered}\text { min длина второго участка } \\ \text { пройденного крошем с } 1,5 \vartheta\end{gathered}=\begin{gathered}\text { Все расстояние } \\ \text { пройденное Барашем за } \tau \end{gathered}-\begin{gathered}\text { первый участок Кроша } \\ \frac{S}{4}\end{gathered} S_{2 \min }=\vartheta \tau-\frac{S}{4}=\vartheta \tau-\frac{1}{4} \cdot \frac{16 \vartheta \tau}{7}=\vartheta \tau-\frac{4 \vartheta \tau}{7}=\frac{7 \vartheta \tau}{7}-\frac{4 \vartheta \tau}{7} \quad \Rightarrow \quad

S_{2 \min }=\frac{3 \vartheta \tau}{7}. 7) Отставание Кроша от Бараша будет \max когда S_{2 \text { min }} .

Оставшийся путь до финиша S-\frac{S}{4}-S_{2 \min }=\frac{4 \cdot 16 \vartheta \tau}{4 \cdot 7}-\frac{1}{4} \cdot \frac{16 \vartheta \tau}{7}-\frac{3 \vartheta \tau}{7}=\frac{36 \vartheta \tau}{4 \cdot 7}=\frac{9 \vartheta \tau}{7}. Максимальное время отставания t_{0}=\frac{9 \vartheta \tau}{7 \cdot 0,9 \vartheta}-\frac{9 \vartheta \tau}{7 \vartheta}=\frac{10}{7} \tau-\frac{9}{7} \tau=\frac{\tau}{7}.

Ответ \frac{3 \vartheta \tau}{7}<S_{2}<\frac{3 \vartheta \tau}{4} ; t_{0}=\frac{\tau}{7} .