Просто движение Часть 1: Просто движение

Задача 4

Условие

Муравей отправился на разведку. Стартовав от муравейника, он в течение времени t=10 с полз на восток со скоростью \vartheta=1 см/с. Затем муравей повернул и в течение времени 2 t двигался со скоростью 2 \vartheta на север. Потом он бежал на запад в течение времени t со скоростью 3 \vartheta и, наконец, повернув на юг, мчался с максимально возможной скоростью 4 \vartheta ещё в течение времени t . После этого его движение в точности повторялось. Через T=20 мин поиска муравей обнаружил добычу. Какое минимальное время потребуется ему для возвращения в муравейник, если при движении с добычей муравей может развивать скорость, в 3 раза меньшую максимально возможной?

Решение

image.png

1) Всего двигался

\text { первые } 50 \text { с }=t+2 t+t+t=5 t=t_{1}, где t=10 с.

2) Общее время движения T=20 мин

N=\frac{T}{t_{1}}=\frac{20 \cdot 60 с}{50 с}=\frac{120}{5}=24. image.png

3) Каждый раз муравей смещается на запад на

3 \vartheta t-\vartheta t=2 \vartheta t. 4) За 24 раза он сместится на запад на

S=24 \cdot 2 \vartheta t=24 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 10=480 \text { см от муравейника}. 5) Значит время возвращения

\vartheta_{\text {возвр }}=\frac{\vartheta_{\max }}{3}=\frac{4 \vartheta}{3}, \quad t_{\text {возвр }}=\frac{480 см }{\frac{4 \vartheta}{3} \frac{ см }{ с }}=\frac{480 \cdot 3}{4 \cdot 1}=360 с. Ответ 360 с.

Задача 5

Условие

В момент противостояния Солнце, Земля и Марс находятся на одной прямой (Земля между Солнцем и Марсом). Продолжительность земного года T=365 суток, марсианского - в k=1,88 раза больше. Считая, что планеты обращаются вокруг Солнца по круговым орбитам с общим центром, лежащим в одной плоскости, найдите минимальный промежуток времени \tau , между двумя последовательными противостояниями. Планеты движутся в одну сторону.

Решение

5 Пусть \tau - промежуток времени между двумя последовательными противостояниями, за который Земля обгонит Марс на полный оборот.

A) угол поворота Земли по своей орбите вокруг Солнца за 1 сутки

\frac{360^{\circ}}{T_{З}}=\frac{360^{\circ}}{T}. Тогда за \tau суток Земля пройдет

\varphi_{З}=\frac{360^{\circ}}{T} \tau \ (градусов). Б) угол поворота Марса за 1 сутки

\frac{360^{\circ}}{T_{М}}=\frac{360^{\circ}}{k T}. Тогда за \tau суток Марс пройдет

\varphi_{М}=\frac{360^{\circ}}{k T} \tau \ (градусов). Если Земля обгонит Марс ровно на 1 оборот, то

\begin{gathered}

\varphi_{З}-\varphi_{М}=360^{\circ} \\

\frac{360^{\circ}}{T} \tau-\frac{360^{\circ}}{k T} \tau=360^{\circ} \quad \Rightarrow \quad \frac{\tau}{T}-\frac{\tau}{k T}=1 \quad \Rightarrow \quad \frac{\tau}{T}\left(1-\frac{1}{k}\right)=1 \quad \Rightarrow \\

\Rightarrow \quad \frac{\tau}{T} \cdot \frac{k-1}{k}=1 \quad \Rightarrow \quad \frac{\tau}{T}=\frac{k}{k-1} \quad \Rightarrow \quad \tau=\frac{k T}{(k-1)} \quad \Rightarrow \\

\Rightarrow \quad \tau=\frac{1,88 \cdot 365 \text { суток }}{0,88}=780 \text { суток}.

\end{gathered} Ответ 780 суток.