Просто движение Часть 1

Задача 4 Условие Муравей отправился на разведку. Стартовав от муравейника, он в течение времени $t=10$ с полз на восток со скоростью $\vartheta=1$ см/с. Затем муравей повернул и в течение времени $2 t$ двигался со скоростью $2 \vartheta$ на север. Потом он бежал на запад в течение времени $t$ со скоростью $3 \vartheta$ и, наконец, повернув на юг, мчался с максимально возможной скоростью $4 \vartheta$ ещё в течение времени $t$. После этого его движение в точности повторялось. Через $T=20$ мин поиска муравей обнаружил добычу. Какое минимальное время потребуется ему для возвращения в муравейник, если при движении с добычей муравей может развивать скорость, в 3 раза меньшую максимально возможной? Решение r 0.25 1) Всего двигался $$ \text { первые } 50 \text { с }=t+2 t+t+t=5 t=t_{1}, $$ где $$ t=10 с. $$ 2) Общее время движения $T=20$ мин $$ N=\frac{T}{t_{1}}=\frac{20 \cdot 60 с}{50 с}=\frac{120}{5}=24. $$ 3) Каждый раз муравей смещается на запад на $$ 3 \vartheta t-\vartheta t=2 \vartheta t. $$ 4) За 24 раза он сместится на запад на $$ S=24 \cdot 2 \vartheta t=24 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 10=480 \text { см от муравейника}. $$ 5) Значит время возвращения $$ \vartheta_{\text {возвр }}=\frac{\vartheta_{\max }}{3}=\frac{4 \vartheta}{3}, \quad t_{\text {возвр }}=\frac{480 см }{\frac{4 \vartheta}{3} \frac{ см }{ с }}=\frac{480 \cdot 3}{4 \cdot 1}=360 с. $$ Ответ 360 с. Задача 5 Условие В момент противостояния Солнце, Земля и Марс находятся на одной прямой (Земля между Солнцем и Марсом). Продолжительность земного года $T=365$ суток, марсианского - в $k=1,88$ раза больше. Считая, что планеты обращаются вокруг Солнца по круговым орбитам с общим центром, лежащим в одной плоскости, найдите минимальный промежуток времени $\tau$, между двумя последовательными противостояниями. Планеты движутся в одну сторону. Решение Пусть $\tau$ - промежуток времени между двумя последовательными противостояниями, за который Земля обгонит Марс на полный оборот. A) угол поворота Земли по своей орбите вокруг Солнца за 1 сутки $$ \frac{360^{\circ}}{T_{З}}=\frac{360^{\circ}}{T}. $$ Тогда за $\tau$ суток Земля пройдет $$ \varphi_{З}=\frac{360^{\circ}}{T} \tau \ (градусов). $$ Б) угол поворота Марса за 1 сутки $$ \frac{360^{\circ}}{T_{М}}=\frac{360^{\circ}}{k T}. $$ Тогда за $\tau$ суток Марс пройдет $$ \varphi_{М}=\frac{360^{\circ}}{k T} \tau \ (градусов). $$ Если Земля обгонит Марс ровно на 1 оборот, то $$ \begin{gathered} \varphi_{З}-\varphi_{М}=360^{\circ} \\ \frac{360^{\circ}}{T} \tau-\frac{360^{\circ}}{k T} \tau=360^{\circ} \quad \Rightarrow \quad \frac{\tau}{T}-\frac{\tau}{k T}=1 \quad \Rightarrow \quad \frac{\tau}{T}\left(1-\frac{1}{k}\right)=1 \quad \Rightarrow \\ \Rightarrow \quad \frac{\tau}{T} \cdot \frac{k-1}{k}=1 \quad \Rightarrow \quad \frac{\tau}{T}=\frac{k}{k-1} \quad \Rightarrow \quad \tau=\frac{k T}{(k-1)} \quad \Rightarrow \\ \Rightarrow \quad \tau=\frac{1,88 \cdot 365 \text { суток }}{0,88}=780 \text { суток}. \end{gathered} $$ Ответ 780 суток.