Прогрессии и другие последовательности Часть 1

Пример 4.6. ЕГЭ-2020, тренировочный вариант, 19. Дана бесконечная арифметическая прогрессия, первый член которой равен 2014, а разность равна 13. С каждым членом прогрессии провели следующую операцию: заменили его суммой его цифр, полученное число тоже заменили суммой его цифр и действовали так до тех пор, пока не получилось однозначное число. а) Найдите тысячное число получившейся последовательности. б) Найдите сумму первой тысячи членов получившейся последовательности. в) Чему может равняться наибольшая сумма 1010 чисел получившейся последовательности, идущих подряд? Решение. Известно, что сумму цифр числа можно вычислить, как остаток от деления на 9. Если же в остатке получается 0, то сумма цифр будет равна 9. Описанную операцию кратко можно записать, как вычисление по модулю 9. а) $2014 \mod 9 = 7$ $(7 + 13) \mod 9 = 2$ $(2 + 13) \mod 9 = 6$ $(6 + 13) \mod 9 = 1$ $(1 + 13) \mod 9 = 5$ $(5 + 13) \mod 9 = 0 \rightarrow 9$ $(0 + 13) \mod 9 = 4$ $(4 + 13) \mod 9 = 8$ $(8 + 13) \mod 9 = 3$ – – – – – – – – – – – – – – $(3 + 13) \mod 9 = 7$ Далее получаем циклическое повторение с периодом 9. Поскольку 999 делится на 9 без остатка, то 999-й член равен 3 (последний в цикле), а 1000-й будет равен (первый в новом цикле). б) В первой тысяче членов получившейся последовательности содержится 111 циклов по 9 элементов и число 7. Поскольку сумма элементов в цикле равна 45, получаем $111 \cdot 45 + 7 = \fbox{5002}$. в) Поскольку число 1008 делится на 9 ($1008 = 112 \cdot 9$), среди 1010 членов последовательности содержится 112 полных циклов и еще два элемента. Максимально возможной суммой двух соседних элементов будет $5 + 9 = 14$, поэтому максимально возможная сумма 1010-ти элементов, идущих подряд, будет $112 \cdot 45 + 14 = \fbox{5054}$. Ответ: а) 7; б) 5002; в) 5054. Пример 4.7. Дополнительная В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2046. а) может ли в последовательности быть три члена? б) может ли в последовательности быть четыре члена? в) может ли в последовательности быть меньше 2046 членов? Решение. а) Для случая арифметической прогрессии: $$ 1, 1 + d, 1 + 2d \iff 1 + 2d = 2046 \iff 2d = 2045 $$ — нет целых решений. Для геометрической прогрессии: $$ 1, q, q^2 \implies q^2 = 2046 — нет натуральных решений. $$ б) Для арифметической прогрессии: $$ 1, 1 + d, 1 + 2d, 1 + 3d \implies 1 + 3d = 2046 \iff 3d = 2045 $$ — нет натуральных решений. Для геометрической прогрессии: $$ 1, q, q^2, q^3 \implies q^3 = 2046 — нет натуральных решений. $$ в) Для арифметической прогрессии: $$ 1, 1 + d, 1 + 2d, 1 + 3d, 1 + 4d, 1 + 5d \implies 1 + 5d = 2046 \implies d = 409. $$ Таким образом, возможен вариант арифметической прогрессии из 6-ти членов. Ответ: а) Нет, б) нет, в) да, может быть арифметическая прогрессия из 6-ти членов. Пример 4.8. Конечная возрастающая последовательность $a_1, a_2, \dots, a_n$ состоит из $n \geqslant 3$ различных натуральных чисел, причём при всех натуральных $k \leqslant n - 2$ выполнено равенство $2a_{k+2} = 3a_{k+1} - a_k$. а) Приведите пример такой последовательности при $n = 6$. б) Может ли в такой последовательности при некотором $n \geqslant 3$ выполняться равенство $a_n = 2a_2 - a_1$? в) Какое наименьшее значение может принимать $a_1$, если $a_n = 286$? Решение. а) Из равенства $$ 2a_{k+2} = 3a_{k+1} - a_k \implies 2\underbrace{(a_{k+2} - a_{k+1})}_{b_{k+1}} = \underbrace{a_{k+1} - a_k}_{b_k}. $$ Введем последователность $b_k = a_{k+1} - a_k$. Тогда из предыдущего следует $$ 2b_{k+1} = b_k \implies b_{k+1} = \frac{1}{2}b_k. $$ Таким образом, последовательность $b_k$ образует геометрическую прогрессию со знаменателем $\frac{1}{2}$. Отсюда $$ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + b_1 \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}}{1 - \frac{1}{2}} = a_1 + 2b_1 \left[1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right]. $$ Отсюда следует, что для того, чтобы конечная последовательность $a_1, a_2, \dots, a_n$ состояла из целых чисел, $b_1$ должно делиться на $2^{n-2}$ без остатка. Так как $n = 6$, можно выбрать $a_1 = 1$, $b_1 = 16$. Тогда получим конечную последовательность 1, 17, 25, 29, 31, 32. Если выбрать $a_1 = 1$, $b_1 = 48$, получим 1, 49, 73, 85, 91, 94. б) Воспользуемся формулой общего члена последовательности $a_n$ из п. а): $$ a_n = a_1 + 2b_1 \left[1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right] в) $a_n = 286$. Вновь воспользуемся формулой для общего члена $a_n$: $$ a_n = a_1 + 2b_1 \left[1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right] \iff 286 = a_1 + b_1 \cdot \frac{2^{n-1} - 1}{2^{n-2}}. $$ Из этого соотношения следует, что $b_1 \ \vdots \ 2^{n-2}$, а число 286 при делении на $(2^{n-1} - 1)$ дает тот же остаток, что и $a_1$. Рассмотрим минимальный случай $n = 3$, тогда $\frac{2^{3-1} - 1}{2} = \frac{3}{2}$. Число 286 при делении на 3 дает остаток 1, поэтому в качестве $a_1$ попробуем 1: $$\begin{aligned} 286 &= 1 + b_1 \cdot \frac{4 - 1}{2} \iff b_1 = 190 \...