Прогрессии и другие последовательности Часть 1

Пример 4.4. Возрастающие арифметические прогрессии $a_1, a_2, \dots, a_n, \dots$ и $b_1, b_2, \dots, b_n, \dots$ состоят из натуральных чисел. а) Существуют ли такие прогрессии, для которых $a_1b_1 + a_3b_3 = 3a_2b_2$? б) Существуют ли такие прогрессии, для которых $a_1b_1 + 2a_4b_4 = 3a_3b_3$? в) Какое наибольшее значение может принимать произведение $a_3b_3$, если $a_1b_1 + 2a_4b_4 \le 300$? Решение. а) Пусть разность первой прогрессии $d_1$, второй – $d_2$. Тогда $$\begin{aligned} a_1 &= a_2 - d_1, \quad b_1 = b_2 - d_2 \\ a_3 &= a_2 + d_1, \quad b_3 = b_2 + d_2 \end{aligned}$$ Подставим в уравнение п. а): $$\begin{aligned} (a_2 - d_1)(b_2 - d_2) + (a_2 + d_1)(b_2 + d_2) &= 3a_2b_2 \iff \\ a_2b_2 - a_2d_2 - d_1b_2 + d_1d_2 + a_2b_2 + a_2d_2 + d_1b_2 + d_1d_2 &= 3a_2b_2 \\ \iff 2d_1d_2 &= a_2b_2 \end{aligned}$$ Подберем $a_2, b_2, d_1, d_2$ так, чтобы были натуральные решения, в том числе для $a_1, b_1$. Возьмем $d_1 = 2, d_2 = 3, a_1 = b_1 = 1$. Тогда $2d_1d_2 = a_2b_2$ — верно. Таким образом, $a : 1, 3, 5, \dots \qquad b : 1, 4, 7, \dots$ $$ \underbrace{a_1b_1 + a_3b_3}_{36} = \underbrace{3a_2b_2}_{36} $$ Да б) Подставим представление из п. а) в уравнение п. б): $$\begin{aligned} a_1b_1 + 2a_4b_4 &= 3a_3b_3 \iff \\ (a_2 - d_1)(b_2 - d_2) + 2(a_2 + 2d_1)(b_2 + 2d_2) &= 3(a_2 + d_1)(b_2 + d_2) \iff \\ a_2b_2 - a_2d_2 - d_1b_2 + d_1d_2 + 2a_2b_2 + 4a_2d_2 + 4d_1b_2 + 8d_1d_2 &= \\ = 3a_2b_2 + 3a_2d_2 + 3d_1b_2 + 3d_1d_2 &\implies 6d_1d_2 = 0 \end{aligned}$$ — нет натуральных решений. в) Поскольку максимальным должно быть произведение $a_3b_3$, здесь удобно $a_1, a_4; b_1, b_4$ выражать через $a_3$ и $b_3$ соответственно: $$\begin{aligned} a_1b_1 + 2a_4b_4 &\le 300 \iff \\ (a_3 - 2d_1)(b_3 - 2d_2) + 2(a_3 + d_1)(b_3 + d_2) &\le 300 \iff \\ a_3b_3 - 2a_3d_2 - 2d_1b_3 + 4d_1d_2 + 2a_3b_3 + 2a_3d_2 + 2d_1b_3 + 2d_1d_2 &\le 300 \\ \iff 3a_3b_3 + 6d_1d_2 \le 300 \iff a_3b_3 + 2d_1d_2 &\le 100. \end{aligned}$$ В лучшем случае $d_1 = d_2 = 1$, поэтому $$ a_3b_3 \le 98. $$ Покажем, что для этого случая есть решения в натуральных числах: $98 = 7 \cdot 7 \cdot 2$. Возьмем $a_3 = 7, b_3 = 14$. Тогда $a_1 = 5, b_1 = 12 \ a : 5, 6, 7, \dots$ $b : 12, 13, 14, \dots$ Ответ: а) Да; б) Нет; в) 98. Пример 4.5. Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность. а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 40 больше, чем в первый раз. б) Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 13 членов? в) Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала? Решение. а) Например, 2, 3: $(2 + 3)^2 - (2^2 + 3^2) = 25 - 13 = 12$. Если добавить число 4, то разность будет $$ (2 + 3 + 4)^2 - (2^2 + 3^2 + 4^2) = 81 - 59 = 52, $$ что на 40 больше, чем было. б) Обозначим члены $a_1, a_2, \dots, a_n$. Тогда $$\begin{aligned} (a_1 + a_2 + \dots + a_n)^2 &- (a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2) = \\ = 2a_n(a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1}) &+ 2a_{n-1}(a_1 + a_2 + \dots + \\ &+ a_{n-2}) + \dots + 2a_3(a_1 + a_2) + 2a_2a_1. \end{aligned}$$ Когда к прогрессии добавили член $a_{n+1}$, то вычисленная во второй раз разность отличается от первой дополнительным слагаемым $$\begin{aligned} 2a_{n+1}(a_1 + a_2 + \dots + a_n) &= 2(a_1 + nd)\frac{2a_1 + (n - 1)d}{2}n = \\ &= (a_1 + nd)(2a_1 + (n - 1)d)n. \end{aligned}$$ По условию $a_1 \ge 0, d \ge 1$, поэтому $$ (a_1 + nd)(2a_1 + (n - 1)d)n \ge n^2(n - 1). $$ Отсюда следует, что $n^2(n - 1) \le 1768, \implies n \le 12$, поэтому 13-ти членов у прогрессии быть не может. в) Из равенства $$ n(2a_1 + d(n - 1))(a_1 + dn) = 1768 $$ следует, что $n$ должно быть делителем числа $1768 = 2^3 \cdot 13 \cdot 17$. Наибольший делитель, меньший 13, равен 8. Проверим, существует ли решение для $n = 8$: $$ 8(2a_1 + 7d)(a_1 + 8d) = 1768 \implies (2a_1 + 7d)(a_1 + 8d) = 221, $$ $221 = 13 \cdot 17$. Если $d \ge 2$, то левая часть не меньше, чем $56d^2 \ge 56 \cdot 4 = 224 > 221$, следовательно, $d = 1$. Тогда для $a_1$ получим уравнение $$ 2a_1^2 + 23a_1 - 165 = 0 \iff a_1 = \frac{-23 \pm 43}{4}. $$ Так как $a_1 \ge 0, a_1 = \frac{20}{4} = 5$. Таким образом, решение существует: $a_1 = 5, d = 1, n = 8$. Прогрессия: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Следовательно, наибольшее возможное $n$ равно 8. Ответ: а) 2, 3; б) нет; в) 8.