Прогрессии и другие последовательности Часть 1: Прогрессии и другие последовательности

Пример 4.4.

Возрастающие арифметические прогрессии a_1, a_2, \dots, a_n, \dots и b_1, b_2, \dots, b_n, \dots состоят из натуральных чисел.

а) Существуют ли такие прогрессии, для которых

a_1b_1 + a_3b_3 = 3a_2b_2 ?

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых

a_1b_1 + 2a_4b_4 = 3a_3b_3 ?

в) Какое наибольшее значение может принимать произведение a_3b_3 ,

если a_1b_1 + 2a_4b_4 \le 300 ?

Решение.

а) Пусть разность первой прогрессии d_1 , второй – d_2 . Тогда \begin{aligned}

a_1 &= a_2 - d_1, \quad b_1 = b_2 - d_2 \\

a_3 &= a_2 + d_1, \quad b_3 = b_2 + d_2

\end{aligned} Подставим в уравнение п. а): \begin{aligned}

(a_2 - d_1)(b_2 - d_2) + (a_2 + d_1)(b_2 + d_2) &= 3a_2b_2 \iff \\

a_2b_2 - a_2d_2 - d_1b_2 + d_1d_2 + a_2b_2 + a_2d_2 + d_1b_2 + d_1d_2 &= 3a_2b_2 \\

\iff 2d_1d_2 &= a_2b_2

\end{aligned} Подберем a_2, b_2, d_1, d_2 так, чтобы были натуральные решения, в том числе для a_1, b_1 . Возьмем d_1 = 2, d_2 = 3, a_1 = b_1 = 1 . Тогда 2d_1d_2 = a_2b_2 — верно.

Таким образом, a : 1, 3, 5, \dots \qquad b : 1, 4, 7, \dots \underbrace{a_1b_1 + a_3b_3}_{36} = \underbrace{3a_2b_2}_{36} Да

б) Подставим представление из п. а) в уравнение п. б): \begin{aligned}

a_1b_1 + 2a_4b_4 &= 3a_3b_3 \iff \\

(a_2 - d_1)(b_2 - d_2) + 2(a_2 + 2d_1)(b_2 + 2d_2) &= 3(a_2 + d_1)(b_2 + d_2) \iff \\

a_2b_2 - a_2d_2 - d_1b_2 + d_1d_2 + 2a_2b_2 + 4a_2d_2 + 4d_1b_2 + 8d_1d_2 &= \\

= 3a_2b_2 + 3a_2d_2 + 3d_1b_2 + 3d_1d_2 &\implies 6d_1d_2 = 0

\end{aligned} — нет натуральных решений.

в) Поскольку максимальным должно быть произведение a_3b_3 , здесь удобно a_1, a_4; b_1, b_4 выражать через a_3 и b_3 соответственно: \begin{aligned}

a_1b_1 + 2a_4b_4 &\le 300 \iff \\

(a_3 - 2d_1)(b_3 - 2d_2) + 2(a_3 + d_1)(b_3 + d_2) &\le 300 \iff \\

a_3b_3 - 2a_3d_2 - 2d_1b_3 + 4d_1d_2 + 2a_3b_3 + 2a_3d_2 + 2d_1b_3 + 2d_1d_2 &\le 300 \\

\iff 3a_3b_3 + 6d_1d_2 \le 300 \iff a_3b_3 + 2d_1d_2 &\le 100.

\end{aligned}

В лучшем случае d_1 = d_2 = 1 , поэтому a_3b_3 \le 98. Покажем, что для этого случая есть решения в натуральных числах:

98 = 7 \cdot 7 \cdot 2 . Возьмем a_3 = 7, b_3 = 14 . Тогда a_1 = 5, b_1 = 12 \ a : 5, 6, 7, \dots

b : 12, 13, 14, \dots

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 98.

Пример 4.5.

Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.

а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 40 больше, чем в первый раз.

б) Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 13 членов?

в) Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?

Решение.

а) Например, 2, 3: (2 + 3)^2 - (2^2 + 3^2) = 25 - 13 = 12 . Если добавить число 4, то разность будет (2 + 3 + 4)^2 - (2^2 + 3^2 + 4^2) = 81 - 59 = 52,

что на 40 больше, чем было.

б) Обозначим члены a_1, a_2, \dots, a_n . Тогда \begin{aligned}

(a_1 + a_2 + \dots + a_n)^2 &- (a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2) = \\

= 2a_n(a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1}) &+ 2a_{n-1}(a_1 + a_2 + \dots + \\

&+ a_{n-2}) + \dots + 2a_3(a_1 + a_2) + 2a_2a_1.

\end{aligned} Когда к прогрессии добавили член a_{n+1} , то вычисленная во второй раз разность отличается от первой дополнительным слагаемым \begin{aligned}

2a_{n+1}(a_1 + a_2 + \dots + a_n) &= 2(a_1 + nd)\frac{2a_1 + (n - 1)d}{2}n = \\

&= (a_1 + nd)(2a_1 + (n - 1)d)n.

\end{aligned} По условию a_1 \ge 0, d \ge 1 , поэтому (a_1 + nd)(2a_1 + (n - 1)d)n \ge n^2(n - 1). Отсюда следует, что n^2(n - 1) \le 1768, \implies n \le 12 , поэтому 13-ти членов у прогрессии быть не может.

в) Из равенства n(2a_1 + d(n - 1))(a_1 + dn) = 1768 следует, что n должно быть делителем числа 1768 = 2^3 \cdot 13 \cdot 17 . Наибольший делитель, меньший 13, равен 8. Проверим, существует ли решение для n = 8 : 8(2a_1 + 7d)(a_1 + 8d) = 1768 \implies (2a_1 + 7d)(a_1 + 8d) = 221, 221 = 13 \cdot 17 . Если d \ge 2 , то левая часть не меньше, чем 56d^2 \ge 56 \cdot 4 = 224 > 221 , следовательно, d = 1 . Тогда для a_1 получим уравнение 2a_1^2 + 23a_1 - 165 = 0 \iff a_1 = \frac{-23 \pm 43}{4}. Так как a_1 \ge 0, a_1 = \frac{20}{4} = 5 . Таким образом, решение существует: a_1 = 5, d = 1, n = 8 . Прогрессия: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Следовательно, наибольшее возможное n равно 8.

Ответ: а) 2, 3; б) нет; в) 8.