Прогрессии и другие последовательности Часть 2

Пример 4.11. Последовательность $a_1, a_2, \dots, a_n, \dots$ состоит из натуральных чисел, причём $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ при всех натуральных $n$. а) Может ли выполняться равенство $4a_5 = 7a_4$? б) Может ли выполняться равенство $5a_5 = 7a_4$? в) При каком наибольшем натуральном $n$ может выполняться равенство $6na_{n+1} = (n^2 + 24) a_n$? Решение. а) Пусть $a_5 = \frac{7}{4}a_4$. Тогда: $$\begin{aligned} a_3 &= a_5 - a_4 = \frac{7}{4}a_4 - a_4 = \frac{3}{4}a_4 \\ a_2 &= a_4 - a_3 = a_4 - \frac{3}{4}a_4 = \frac{1}{4}a_4 \\ a_1 &= a_3 - a_2 = \frac{3}{4}a_4 - \frac{1}{4}a_4 = \frac{1}{2}a_4 \end{aligned}$$ Пусть $a_4 = 4$, тогда: $a_1 = 2, a_2 = 1, a_3 = 3, a_4 = 4, a_5 = 7$. . б) Пусть $a_5 = \frac{7}{5}a_4$. Тогда: $$\begin{aligned} a_3 &= a_5 - a_4 = \frac{7}{5}a_4 - a_4 = \frac{2}{5}a_4 \\ a_2 &= a_4 - a_3 = a_4 - \frac{2}{5}a_4 = \frac{3}{5}a_4 \\ a_1 &= a_3 - a_2 = \frac{2}{5}a_4 - \frac{3}{5}a_4 в) Будем действовать в общем виде по тому же принципу. По условию $a_{n+1} = \frac{n^2 + 24}{6n}a_n$, подставим в выражение для $a_{n-1}$: $$\begin{aligned} a_{n-1} &= a_{n+1} - a_n = \frac{n^2 + 24}{6n}a_n - a_n = \frac{n^2 - 6n + 24}{6n}a_n; \\ a_{n-2} &= a_n - a_{n-1} = a_n - \frac{n^2 - 6n + 24}{6n}a_n = \frac{6n - n^2 + 6n - 24}{6n}a_n = \\ &= \frac{-24 + 12n - n^2}{6n}a_n; \\ a_{n-3} &= a_{n-1} - a_{n-2} = \left(\frac{n^2 - 6n + 24}{6n} - \frac{-24 + 12n - n^2}{6n}\right)a_n = \\ &= \frac{2n^2 - 18n + 48}{6n}a_n; \\ a_{n-4} &= a_{n-2} - a_{n-3} = \left(\frac{-24 + 12n - n^2}{6n} - 2n^2 - 18n + 48\right)a_n = \\ &= \frac{-72 + 30n - 3n^2}{6n}a_n. \end{aligned}$$ Числитель полученной дроби $$ -3(n^2 - 10n + 24) = -3(-n^2 - 10 + 25 - 1) = -3\left[(n - 5)^2 - 1\right] > 0 $$ только при $n = 5$. Построим пример при $n = 5$: $a_5 = 30: a_1 = 3, a_2 = \frac{50 - 18 \cdot 5 + 48}{30} = 8, a_3 = 11, a_4 = 19, a_5 = 30, a_6 = 49 \implies 5$ наибольшее. Ответ: а) да; б) нет; в) при $n = 5$. Пример 4.12. Все члены геометрической прогрессии — различные натуральные числа, заключенные между числами 210 и 350. а) может ли такая прогрессия состоять из четырех членов? б) может ли такая прогрессия состоять из пяти членов? Решение. а) Может, пусть $b_1 = 216 = 6^3$, $q = \frac{7}{6}$, получим $$ b_2 = 6 \cdot 6 \cdot 7 = 252, \quad b_3 = 6 \cdot 7 \cdot 7 = 294, \quad b_4 = 7^3 = 343. $$ б) Допустим, что такая последовательность существует. Без ограничения общности будем считать, что она возрастает. Пусть знаменатель $q = \frac{m}{k}$, где $m$ и $k$ — взаимно простые числа. Тогда $$ 210 Так как $m$ и $k$ взаимно простые, то $b_1 \ \vdots \ k^4$, следовательно, $m^4 1$, то $k 210 \cdot \frac{256}{81} > 350, $$ что противоречит условию, следовательно, такая прогрессия не существует. Ответ: а) да. б) нет. Пример 4.13. ЕГЭ-2014, досрочный экзамен, С6. Целое число S является суммой не менее трех последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел. а) Может ли S равняться 8? б) Может ли S равняться 1? в) Найдите все значения, которые может принимать S. Решение. а) Пусть $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность. Тогда: $$ S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} = 8 \iff n(2a_1 + (n + 1)d) = 16. $$ Возьмем $n = 4 \implies 2a_1 + 3d = 4$. Следовательно, $d$ должно быть четным, выберем $d = 2$, тогда $a_1 = -1$. Таким образом, . Сумма равна 8. б) $S_n = n \cdot \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} = 1 \iff 2 = n(2a_1 + (n + 1)d)$ Отсюда $2 \ \vdots \ n$, что невозможно, так как $n \ge 3$. . в) Любое натуральное число $n \ge 2$ является суммой арифметической прогрессии $1 - n; 2 - n; \dots ; n - 1; n$, состоящей из $2n \ge 4$ членов. Если заменить все члены прогрессии на противоположные, то получится арифметическая прогрессия, состоящая из $2n$ членов, сумма которой – $n$. Ранее показано, что сумма не может равняться 1. Аналогично показывается, что она не может равняться $-1$. Таким образом, $S$ может принимать все целые значения, кроме $-1$ и $1$. Ответ: а) Да; б) нет; в) любые целые значения, кроме $\pm 1$.