Прогрессии и другие последовательности Часть 2: Прогрессии и другие последовательности

Пример 4.11.

Последовательность a_1, a_2, \dots, a_n, \dots состоит из натуральных чисел, причём a_{n+2} = a_{n+1} + a_n при всех натуральных n .

а) Может ли выполняться равенство 4a_5 = 7a_4 ?

б) Может ли выполняться равенство 5a_5 = 7a_4 ?

в) При каком наибольшем натуральном n может выполняться равенство 6na_{n+1} = (n^2 + 24) a_n ?

Решение.

а) Пусть a_5 = \frac{7}{4}a_4 . Тогда: \begin{aligned}

a_3 &= a_5 - a_4 = \frac{7}{4}a_4 - a_4 = \frac{3}{4}a_4 \\

a_2 &= a_4 - a_3 = a_4 - \frac{3}{4}a_4 = \frac{1}{4}a_4 \\

a_1 &= a_3 - a_2 = \frac{3}{4}a_4 - \frac{1}{4}a_4 = \frac{1}{2}a_4

\end{aligned} Пусть a_4 = 4 , тогда:

a_1 = 2, a_2 = 1, a_3 = 3, a_4 = 4, a_5 = 7 .

.

б) Пусть a_5 = \frac{7}{5}a_4 . Тогда: \begin{aligned}

a_3 &= a_5 - a_4 = \frac{7}{5}a_4 - a_4 = \frac{2}{5}a_4 \\

a_2 &= a_4 - a_3 = a_4 - \frac{2}{5}a_4 = \frac{3}{5}a_4 \\

a_1 &= a_3 - a_2 = \frac{2}{5}a_4 - \frac{3}{5}a_4 < 0

\end{aligned} .

в) Будем действовать в общем виде по тому же принципу. По условию

a_{n+1} = \frac{n^2 + 24}{6n}a_n , подставим в выражение для a_{n-1} : \begin{aligned}

a_{n-1} &= a_{n+1} - a_n = \frac{n^2 + 24}{6n}a_n - a_n = \frac{n^2 - 6n + 24}{6n}a_n; \\

a_{n-2} &= a_n - a_{n-1} = a_n - \frac{n^2 - 6n + 24}{6n}a_n = \frac{6n - n^2 + 6n - 24}{6n}a_n = \\

&= \frac{-24 + 12n - n^2}{6n}a_n; \\

a_{n-3} &= a_{n-1} - a_{n-2} = \left(\frac{n^2 - 6n + 24}{6n} - \frac{-24 + 12n - n^2}{6n}\right)a_n = \\

&= \frac{2n^2 - 18n + 48}{6n}a_n; \\

a_{n-4} &= a_{n-2} - a_{n-3} = \left(\frac{-24 + 12n - n^2}{6n} - 2n^2 - 18n + 48\right)a_n = \\

&= \frac{-72 + 30n - 3n^2}{6n}a_n.

\end{aligned} Числитель полученной дроби -3(n^2 - 10n + 24) = -3(-n^2 - 10 + 25 - 1) = -3\left[(n - 5)^2 - 1\right] > 0 только при n = 5 . Построим пример при n = 5 :

a_5 = 30: a_1 = 3, a_2 = \frac{50 - 18 \cdot 5 + 48}{30} = 8, a_3 = 11, a_4 = 19, a_5 = 30, a_6 = 49 \implies 5 наибольшее.

Ответ: а) да; б) нет; в) при n = 5 .

Пример 4.12.

Все члены геометрической прогрессии — различные натуральные числа, заключенные между числами 210 и 350.

а) может ли такая прогрессия состоять из четырех членов?

б) может ли такая прогрессия состоять из пяти членов?

Решение.

а) Может, пусть b_1 = 216 = 6^3 , q = \frac{7}{6} , получим b_2 = 6 \cdot 6 \cdot 7 = 252, \quad b_3 = 6 \cdot 7 \cdot 7 = 294, \quad b_4 = 7^3 = 343.

б) Допустим, что такая последовательность существует. Без ограничения общности будем считать, что она возрастает. Пусть знаменатель q = \frac{m}{k} , где m и k — взаимно простые числа. Тогда 210 < b_1, b_2 = b_1q < \dots < b_5 = b_1q^4 = \frac{b_1}{k^4}m^4 < 350.

Так как m и k взаимно простые, то b_1 \ \vdots \ k^4 , следовательно, m^4 < 350 \implies m \le 4 . Так как q > 1 , то k < m \implies k \le m - 1 = 3 . Отсюда: q = \frac{m}{k} \ge \frac{m}{m - 1} = 1 + \frac{1}{m - 1} \ge 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}. Далее b_5 = b_1q^4 \ge b_1 \left(\frac{4}{3}\right)^4 > 210 \cdot \frac{256}{81} > 350, что противоречит условию, следовательно, такая прогрессия не существует.

Ответ: а) да. б) нет.

Пример 4.13.

ЕГЭ-2014, досрочный экзамен, С6.

Целое число S является суммой не менее трех последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.

а) Может ли S равняться 8?

б) Может ли S равняться 1?

в) Найдите все значения, которые может принимать S.

Решение.

а) Пусть a_1 — первый член прогрессии, d — разность. Тогда: S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} = 8 \iff n(2a_1 + (n + 1)d) = 16. Возьмем n = 4 \implies 2a_1 + 3d = 4 . Следовательно, d должно быть четным, выберем d = 2 , тогда a_1 = -1 . Таким образом, . Сумма равна 8.

б) S_n = n \cdot \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} = 1 \iff 2 = n(2a_1 + (n + 1)d)

Отсюда 2 \ \vdots \ n , что невозможно, так как n \ge 3 . .

в) Любое натуральное число n \ge 2 является суммой арифметической прогрессии 1 - n; 2 - n; \dots ; n - 1; n , состоящей из 2n \ge 4 членов. Если заменить все члены прогрессии на противоположные, то получится арифметическая прогрессия, состоящая из 2n членов, сумма которой – n .

Ранее показано, что сумма не может равняться 1. Аналогично показывается, что она не может равняться -1 . Таким образом, S может принимать все целые значения, кроме -1 и 1 .

Ответ: а) Да; б) нет; в) любые целые значения, кроме \pm 1 .