Относительное движение Часть 1

Задача 5 Условие Братья Паша и Дима любят бегать по кольцевой беговой дорожке. Скорость старшего брата Димы в 1,5 раза больше скорости Паши, поэтому Дима пробегает один круг на 20 с быстрее младшего брата. Через какое время после старта очередного забега Дима обгонит Пашу ровно на 2 круга? Мальчики стартуют из одной точки и бегут в одном направлении. Решение Пусть L — длина круга, $\vartheta_{П}$ — скорость Паши, $\vartheta_{Д} = 1,5\vartheta_{П}$ — скорость Димы. Время, за которое Паша пробегает круг: $$ t_{П} = \frac{L}{\vartheta_{П}} $$ Время, за которое Дима пробегает круг: $$ t_{Д} = \frac{L}{\vartheta_{Д}} = \frac{L}{1,5\vartheta_{П}} $$ По условию, Дима пробегает круг на 20 с быстрее: $$ \Delta t_1 = t_{П} - t_{Д} = 20 с $$ $$ \frac{L}{\vartheta_{П}} - \frac{L}{1,5\vartheta_{П}} = 20 $$ $$ \frac{1,5L - L}{1,5\vartheta_{П}} = 20 $$ $$ \frac{0,5L}{1,5\vartheta_{П}} = 20 $$ $$ L = \frac{20 \cdot 1,5\vartheta_{П}}{0,5} = 60\vartheta_{П} $$ Скорость Димы относительно Паши, т.е. скорость сближения (обгона): $$ \vartheta_{отн} = \vartheta_{Д} - \vartheta_{П} = 1,5\vartheta_{П} - \vartheta_{П} = 0,5\vartheta_{П} $$ Чтобы обогнать Пашу на 2 круга, Дима должен "пробежать" относительно него расстояние 2L. Время для этого: $$ \Delta t_2 = \frac{2L}{\vartheta_{отн}} = \frac{2L}{0,5\vartheta_{П}} $$ Подставим найденное выражение для L: $$ \Delta t_2 = \frac{2 \cdot (60\vartheta_{П})}{0,5\vartheta_{П}} = \frac{120}{0,5} = 240 с $$ Ответ 240 с. Задача 6 Условие Два жука бегут по прямой дорожке с постоянными скоростями. В начальный момент времени $t_0 = 0$ с расстояние между ними было равно $s_0 = 20$ м. В момент времени $t_1 = 10$ с расстояние между ними стало равным $s_1 = 5$ м. Какое расстояние $s_2$ между ними будет в момент $t_2 = 20$ с? Решение За первые $\Delta t_{01} = 10$ с расстояние между жуками уменьшилось на $20 - 5 = 15$ м. Это означает, что жуки бежали навстречу друг другу. Существуют два варианта развития событий. А) Жуки еще не встретились к моменту $t_1=10$ с В этом случае за 10 секунд они совместно прошли 15 м. Их скорость сближения: $$ \vartheta_{сбл} = \frac{S_0 - S_1}{\Delta t_{01}} = \frac{20м - 5м}{10с} = 1,5 \frac{м}{с} $$ В следующие 10 секунд (от $t_1$ до $t_2$) они продолжат сближаться и пройдут еще: $$ \Delta S_{12} = \vartheta_{сбл} \cdot \Delta t_{12} = 1,5 \frac{м}{с} \cdot 10с = 15 м $$ Поскольку к моменту $t_1$ между ними оставалось 5 м, а за следующие 10 с они прошли 15 м, это означает, что они встретились и успели разбежаться. Новое расстояние между ними будет: $$ S_2 = 15м - 5м = 10 м $$ Б) Жуки встретились до момента $t_1=10$ с и уже разбегаются В этом случае за 10 секунд они сначала преодолели начальное расстояние $S_0=20$ м, а затем разбежались еще на $S_1=5$ м. Общее пройденное ими расстояние относительно друг друга: $$ S_{общ} = S_0 + S_1 = 20м + 5м = 25 м $$ Их относительная скорость (теперь уже скорость удаления): $$ \vartheta_{сбл} = \frac{S_{общ}}{\Delta t_{01}} = \frac{25м}{10с} = 2,5 \frac{м}{с} $$ В следующие 10 секунд (от $t_1$ до $t_2$) они разбегутся еще на: $$ \Delta S_{12} = \vartheta_{сбл} \cdot \Delta t_{12} = 2,5 \frac{м}{с} \cdot 10с = 25 м $$ Новое расстояние между ними будет равно сумме расстояния в момент $t_1$ и дополнительного расстояния, на которое они разбежались: $$ S_2 = S_1 + \Delta S_{12} = 5м + 25м = 30 м $$ Ответ 10 м или 30 м.