Относительное движение Часть 1: Относительное движение

Задача 5

Условие

Братья Паша и Дима любят бегать по кольцевой беговой дорожке. Скорость старшего брата Димы в 1,5 раза больше скорости Паши, поэтому Дима пробегает один круг на 20 с быстрее младшего брата. Через какое время после старта очередного забега Дима обгонит Пашу ровно на 2 круга? Мальчики стартуют из одной точки и бегут в одном направлении.

Решение

Пусть L — длина круга, \vartheta_{П} — скорость Паши, \vartheta_{Д} = 1,5\vartheta_{П} — скорость Димы. Время, за которое Паша пробегает круг: t_{П} = \frac{L}{\vartheta_{П}} Время, за которое Дима пробегает круг: t_{Д} = \frac{L}{\vartheta_{Д}} = \frac{L}{1,5\vartheta_{П}} По условию, Дима пробегает круг на 20 с быстрее: \Delta t_1 = t_{П} - t_{Д} = 20 с \frac{L}{\vartheta_{П}} - \frac{L}{1,5\vartheta_{П}} = 20 \frac{1,5L - L}{1,5\vartheta_{П}} = 20 \frac{0,5L}{1,5\vartheta_{П}} = 20 L = \frac{20 \cdot 1,5\vartheta_{П}}{0,5} = 60\vartheta_{П} Скорость Димы относительно Паши, т.е. скорость сближения (обгона): \vartheta_{отн} = \vartheta_{Д} - \vartheta_{П} = 1,5\vartheta_{П} - \vartheta_{П} = 0,5\vartheta_{П} Чтобы обогнать Пашу на 2 круга, Дима должен "пробежать" относительно него расстояние 2L. Время для этого: \Delta t_2 = \frac{2L}{\vartheta_{отн}} = \frac{2L}{0,5\vartheta_{П}} Подставим найденное выражение для L: \Delta t_2 = \frac{2 \cdot (60\vartheta_{П})}{0,5\vartheta_{П}} = \frac{120}{0,5} = 240 с

Ответ 240 с.

Задача 6

Условие

Два жука бегут по прямой дорожке с постоянными скоростями. В начальный момент времени t_0 = 0 с расстояние между ними было равно s_0 = 20 м. В момент времени t_1 = 10 с расстояние между ними стало равным s_1 = 5 м. Какое расстояние s_2 между ними будет в момент t_2 = 20 с?

Решение

За первые \Delta t_{01} = 10 с расстояние между жуками уменьшилось на 20 - 5 = 15 м. Это означает, что жуки бежали навстречу друг другу. Существуют два варианта развития событий.

А) Жуки еще не встретились к моменту t_1=10 с

4 В этом случае за 10 секунд они совместно прошли 15 м. Их скорость сближения: \vartheta_{сбл} = \frac{S_0 - S_1}{\Delta t_{01}} = \frac{20м - 5м}{10с} = 1,5 \frac{м}{с} В следующие 10 секунд (от t_1 до t_2 ) они продолжат сближаться и пройдут еще: \Delta S_{12} = \vartheta_{сбл} \cdot \Delta t_{12} = 1,5 \frac{м}{с} \cdot 10с = 15 м Поскольку к моменту t_1 между ними оставалось 5 м, а за следующие 10 с они прошли 15 м, это означает, что они встретились и успели разбежаться. Новое расстояние между ними будет: S_2 = 15м - 5м = 10 м

5 Б) Жуки встретились до момента t_1=10 с и уже разбегаются

6 В этом случае за 10 секунд они сначала преодолели начальное расстояние S_0=20 м, а затем разбежались еще на S_1=5 м. Общее пройденное ими расстояние относительно друг друга: S_{общ} = S_0 + S_1 = 20м + 5м = 25 м Их относительная скорость (теперь уже скорость удаления): \vartheta_{сбл} = \frac{S_{общ}}{\Delta t_{01}} = \frac{25м}{10с} = 2,5 \frac{м}{с} В следующие 10 секунд (от t_1 до t_2 ) они разбегутся еще на: \Delta S_{12} = \vartheta_{сбл} \cdot \Delta t_{12} = 2,5 \frac{м}{с} \cdot 10с = 25 м Новое расстояние между ними будет равно сумме расстояния в момент t_1 и дополнительного расстояния, на которое они разбежались: S_2 = S_1 + \Delta S_{12} = 5м + 25м = 30 м

Ответ 10 м или 30 м.