Относительное движение Часть 1: Относительное движение

Задача 3

Условие

По прямой двухполосной дороге едут грузовик с прицепом и легковой автомобиль. Модули их скоростей равны соответственно \vartheta_{г} = 20 м/с и \vartheta_{л} = 30 м/с. Известно, что длина легкового автомобиля l_1 = 5 м, а грузовик вместе с прицепом имеет длину l_2 = 35 м. При этом легковой автомобиль совершает обгон грузовика. Сколько времени будет длиться обгон?

Решение

При решении таких задач принципиальное значения играют размеры тел. Нужно понять, какие моменты времени являются началом и окончанием обгона

2 1 способ (через уравнения движения)

Запишем координаты точек А (нос легкового) и Д (нос грузовика) в зависимости от времени. Начало обгона: "нос" легкового на уровне "хвоста" грузовика. x_{А0}=0 , x_{Д0}=l_2=35 м. x_{А} = x_{А0} + \vartheta_{л}t = 0 + 30t \quad (1) x_{Д} = x_{Д0} + \vartheta_{г}t = 35 + 20t \quad (2) Конец обгона: "хвост" легкового на уровне "носа" грузовика, что равносильно тому, что "нос" легкового опережает "нос" грузовика на длину легкового. x_{А} = x_{Д} + l_1 \quad (3) Подставим в (3) уравнения (1) и (2): 30t = (35 + 20t) + 5 30t - 20t = 40 10t = 40 t = 4 с — время обгона Расстояние, которое пройдет «нос» легкового автомобиля: l_{А} = 30 \frac{м}{с} \cdot 4 с = 120 м Расстояние, которое пройдет «нос» грузовика: l_{Д} = 35 + 20 \cdot 4 = 35+80 = 115 м То грузовик прошел 80 м.

2 способ (через относительную скорость)

Скорость сближения (обгона): \vartheta_{сбл} = \vartheta_{л} - \vartheta_{г} = 30 - 20 = 10 \frac{м}{с} Расстояние, которое должна "преодолеть" легковая машина относительно грузовика, равно сумме их длин: S_{сбл} = l_1 + l_2 = 5 м + 35 м = 40 м Время обгона: t_{сбл} = \frac{S_{сбл}}{\vartheta_{сбл}} = \frac{40 м}{10 м/с} = 4 с За время обгона «нос» легкового автомобиля пройдет: S_{л} = \vartheta_{л} \cdot 4с = 30 \cdot 4 = 120 м За время обгона «нос» грузовика пройдет: S_{г} = \vartheta_{г} \cdot 4с = 20 \cdot 4 = 80 м

Ответ Время обгона 4 с.

Задача 4

Условие

По загородной трассе едет колонна из семи одинаковых грузовиков. Автомобиль «Лада Калина», движущийся во встречном, проезжает мимо колонны за 6 с, в то время как такой же автомобиль, едущий с той же скоростью в попутном направлении, обгоняет колонну за 24 с. С какой скоростью движется колонна? Длина грузовика равна 8 м, длина «Калины» — 4 м, дистанция между грузовиками — 30 м.

Решение

3 Сначала определим общую длину, которую легковой автомобиль должен преодолеть относительно колонны. Эта длина равна сумме длин всех грузовиков, всех промежутков между ними и длины самого легкового автомобиля. L_{сбл} = 7 \cdot l_{гр} + 6 \cdot \Delta l_{гр} + l_{легк} L_{сбл} = 7 \cdot 8м + 6 \cdot 30м + 4м = 56 + 180 + 4 = 240 м

Пусть \vartheta_{легк} — скорость легкового автомобиля, а \vartheta_{гр} — скорость колонны.

При движении навстречу их скорости складываются. \vartheta_{сбл навстр} = \vartheta_{легк} + \vartheta_{гр} \vartheta_{легк} + \vartheta_{гр} = \frac{L_{сбл}}{t_{легк навстр}} = \frac{240 м}{6 с} = 40 \frac{м}{с} \quad (1)

При попутном движении (обгоне) их скорости вычитаются. \vartheta_{сбл попутн} = \vartheta_{легк} - \vartheta_{гр} \vartheta_{легк} - \vartheta_{гр} = \frac{L_{сбл}}{t_{легк попутн}} = \frac{240 м}{24 с} = 10 \frac{м}{с} \quad (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений: \begin{cases}

\vartheta_{легк} + \vartheta_{гр} = 40 \\

\vartheta_{легк} - \vartheta_{гр} = 10

\end{cases} Сложим уравнения (1) и (2): 2\vartheta_{легк} = 50 \implies \vartheta_{легк} = 25 \frac{м}{с} Подставим найденное значение в первое уравнение: 25 + \vartheta_{гр} = 40 \implies \vartheta_{гр} = 15 \frac{м}{с}

Ответ скорость колонны 15 \frac{м}{с} ; скорость "Калины" 25 \frac{м}{с} .