Относительное движение Часть 1

Задача 3 Условие По прямой двухполосной дороге едут грузовик с прицепом и легковой автомобиль. Модули их скоростей равны соответственно $\vartheta_{г} = 20$ м/с и $\vartheta_{л} = 30$ м/с. Известно, что длина легкового автомобиля $l_1 = 5$ м, а грузовик вместе с прицепом имеет длину $l_2 = 35$ м. При этом легковой автомобиль совершает обгон грузовика. Сколько времени будет длиться обгон? Решение При решении таких задач принципиальное значения играют размеры тел. Нужно понять, какие моменты времени являются началом и окончанием обгона 1 способ (через уравнения движения) Запишем координаты точек А (нос легкового) и Д (нос грузовика) в зависимости от времени. Начало обгона: "нос" легкового на уровне "хвоста" грузовика. $x_{А0}=0$, $x_{Д0}=l_2=35$ м. $$ x_{А} = x_{А0} + \vartheta_{л}t = 0 + 30t \quad (1) $$ $$ x_{Д} = x_{Д0} + \vartheta_{г}t = 35 + 20t \quad (2) $$ Конец обгона: "хвост" легкового на уровне "носа" грузовика, что равносильно тому, что "нос" легкового опережает "нос" грузовика на длину легкового. $$ x_{А} = x_{Д} + l_1 \quad (3) $$ Подставим в (3) уравнения (1) и (2): $$ 30t = (35 + 20t) + 5 $$ $$ 30t - 20t = 40 $$ $$ 10t = 40 $$ $$ t = 4 с — время обгона $$ Расстояние, которое пройдет «нос» легкового автомобиля: $$ l_{А} = 30 \frac{м}{с} \cdot 4 с = 120 м $$ Расстояние, которое пройдет «нос» грузовика: $$ l_{Д} = 35 + 20 \cdot 4 = 35+80 = 115 м $$ То грузовик прошел 80 м. 2 способ (через относительную скорость) Скорость сближения (обгона): $$ \vartheta_{сбл} = \vartheta_{л} - \vartheta_{г} = 30 - 20 = 10 \frac{м}{с} $$ Расстояние, которое должна "преодолеть" легковая машина относительно грузовика, равно сумме их длин: $$ S_{сбл} = l_1 + l_2 = 5 м + 35 м = 40 м $$ Время обгона: $$ t_{сбл} = \frac{S_{сбл}}{\vartheta_{сбл}} = \frac{40 м}{10 м/с} = 4 с $$ За время обгона «нос» легкового автомобиля пройдет: $$ S_{л} = \vartheta_{л} \cdot 4с = 30 \cdot 4 = 120 м $$ За время обгона «нос» грузовика пройдет: $$ S_{г} = \vartheta_{г} \cdot 4с = 20 \cdot 4 = 80 м $$ Ответ Время обгона 4 с. Задача 4 Условие По загородной трассе едет колонна из семи одинаковых грузовиков. Автомобиль «Лада Калина», движущийся во встречном, проезжает мимо колонны за 6 с, в то время как такой же автомобиль, едущий с той же скоростью в попутном направлении, обгоняет колонну за 24 с. С какой скоростью движется колонна? Длина грузовика равна 8 м, длина «Калины» — 4 м, дистанция между грузовиками — 30 м. Решение Сначала определим общую длину, которую легковой автомобиль должен преодолеть относительно колонны. Эта длина равна сумме длин всех грузовиков, всех промежутков между ними и длины самого легкового автомобиля. $$ L_{сбл} = 7 \cdot l_{гр} + 6 \cdot \Delta l_{гр} + l_{легк} $$ $$ L_{сбл} = 7 \cdot 8м + 6 \cdot 30м + 4м = 56 + 180 + 4 = 240 м $$ Пусть $\vartheta_{легк}$ — скорость легкового автомобиля, а $\vartheta_{гр}$ — скорость колонны. При движении навстречу их скорости складываются. $$ \vartheta_{сбл навстр} = \vartheta_{легк} + \vartheta_{гр} $$ $$ \vartheta_{легк} + \vartheta_{гр} = \frac{L_{сбл}}{t_{легк навстр}} = \frac{240 м}{6 с} = 40 \frac{м}{с} \quad (1) $$ При попутном движении (обгоне) их скорости вычитаются. $$ \vartheta_{сбл попутн} = \vartheta_{легк} - \vartheta_{гр} $$ $$ \vartheta_{легк} - \vartheta_{гр} = \frac{L_{сбл}}{t_{легк попутн}} = \frac{240 м}{24 с} = 10 \frac{м}{с} \quad (2) $$ Теперь у нас есть система из двух уравнений: $$ \begin{cases} \vartheta_{легк} + \vartheta_{гр} = 40 \\ \vartheta_{легк} - \vartheta_{гр} = 10 \end{cases} $$ Сложим уравнения (1) и (2): $$ 2\vartheta_{легк} = 50 \implies \vartheta_{легк} = 25 \frac{м}{с} $$ Подставим найденное значение в первое уравнение: $$ 25 + \vartheta_{гр} = 40 \implies \vartheta_{гр} = 15 \frac{м}{с} $$ Ответ скорость колонны $15 \frac{м}{с}$; скорость "Калины" $25 \frac{м}{с}$.