Относительное движение Часть 2

Задача 5 Условие Старшеклассник Егор сделал радар для определения скорости автомобилей. Однажды он ехал с отцом в машине по прямому участку шоссе и решил измерить с помощью своего радара скорости автомобилей, которые двигались в ту же сторону спереди и сзади их автомашины. Радар показал, что передняя машина движется со скоростью $\vartheta_1 = 7$ м/с, а задняя со скоростью $\vartheta_2 = 12$ м/с. Известно, что передний автомобиль движется со скоростью 90 км/час, а задний со скоростью 72 км/час относительно земли. Какова может быть скорость автомобиля Егора? Радар измеряет скорости машин относительно самого себя. Решение Сначала приведем скорости автомобилей относительно земли к м/с: $$ \vartheta_{пер} = 90 \frac{км}{ч} = 25 \frac{м}{с} $$ $$ \vartheta_{задн} = 72 \frac{км}{ч} = 20 \frac{м}{с} $$ Пусть скорость автомобиля Егора — $\vartheta_{Е}$. Авто Егора может, как приближаться, так и удаляться по отношению к переднему и заднему авто, нужно рассмотреть все возможные случаи. С передним авто Относительная скорость 7 м/с. Возможны два варианта: $$ 1) \vartheta_{Е} - \vartheta_{пер} = 7 \implies \vartheta_{Е} = 7 + 25 = 32 \frac{м}{с} $$ $$ 2) \vartheta_{пер} - \vartheta_{Е} = 7 \implies \vartheta_{Е} = 25 - 7 = 18 \frac{м}{с} $$ С задним авто Относительная скорость 12 м/с. Возможны два варианта: $$ 1) \vartheta_{Е} - \vartheta_{задн} = 12 \implies \vartheta_{Е} = 12 + 20 = 32 \frac{м}{с} $$ $$ 2) \vartheta_{задн} - \vartheta_{Е} = 12 \implies \vartheta_{Е} = 20 - 12 = 8 \frac{м}{с} $$ Скорость автомобиля Егора должна быть одной и той же в обоих случаях. Сравнивая полученные результаты, видим, что единственное совпадающее значение — 32 м/с. Ответ $32 \frac{м}{с}$. Задача 6 Условие Пассажирский поезд, движущийся с постоянной скоростью $\vartheta$, проезжает туннель длины $L$ за то же самое время, что этот же поезд проезжает мимо движущегося навстречу ему со скоростью $3\vartheta$ товарного состава, имеющего длину $6L$. Чему равна длина пассажирского поезда? Решение 1) Через туннель Чтобы полностью проехать туннель, "голова" поезда должна пройти расстояние, равное сумме длины туннеля $L$ и собственной длины поезда $l_x$. $$ t_1 = \frac{L+l_x}{\vartheta} $$ 2) Навстречу товарному составу При движении навстречу их относительная скорость (скорость сближения) равна $\vartheta_{отн} = \vartheta + 3\vartheta = 4\vartheta$. Расстояние, которое должны пройти поезда относительно друг друга от момента встречи "головами" до момента расхождения "хвостами", равно сумме их длин: $l_x + 6L$. $$ t_2 = \frac{l_x + 6L}{\vartheta_{отн}} = \frac{l_x + 6L}{4\vartheta} $$ Т.к. $t_1 = t_2$: $$ \frac{L+l_x}{\vartheta} = \frac{l_x + 6L}{4\vartheta} $$ Умножим обе части на $4\vartheta$: $$ 4(L+l_x) = l_x + 6L $$ $$ 4L + 4l_x = l_x + 6L $$ $$ 3l_x = 2L $$ $$ l_x = \frac{2L}{3} $$ Ответ $\displaystyle\frac{2L}{3}$. Задача 7 Условие По ровному полу в сторону своей норки бежит мышка со скоростью 1 м/с. Вслед за мышкой вдоль этой же прямой гонится кот со скоростью 3 м/с. Удастся ли коту поймать мышку, если в тот момент, когда мы начали наблюдение, расстояние между ними составляло 6 м, а расстояние от мышки до её норки равно 2 м? Решение 1 способ (через систему отсчета) Введем систему отсчета (СО). А) Зададим начальные координаты ($t=0$): $$ x_{0к} = 0 м $$ $$ x_{0м} = 6 м $$ $$ x_{н} = 8 м (координата норки) $$ Б) Запишем уравнения движения для кота и мышки: $$ x_{к} = x_{0к} + \vartheta_{к}t = 0 + 3t $$ $$ x_{м} = x_{0м} + \vartheta_{м}t = 6 + 1t $$ В) Найдем время встречи, если бы норки не было. Условие встречи $x_{к} = x_{м}$: $$ 3t = 6 + 1t $$ $$ 2t = 6 $$ $$ t = 3 с $$ Г) Найдем, где окажется кот через $t = 3$ с: $$ x_{к} = 3 \cdot 3 = 9 м $$ Д) Найдем момент времени $t_{н}$, когда мышка добежит до норки. В этот момент координата мышки будет равна координате норки ($x_{м} = x_{н}$): $$ 6 + 1t_{н} = 8 $$ $$ t_{н} = 2 с $$ Поскольку мышка окажется в норке через 2 секунды, а кот догонит ее только через 3 секунды, мышка успеет спрятаться. 2 способ (через относительную скорость) Скорость сближения кота и мышки: $$ \vartheta_{сбл} = \vartheta_{к} - \vartheta_{м} = 3 - 1 = 2 \frac{м}{с} $$ Время, через которое кот догнал бы мышку: $$ t = \frac{S_{сбл}}{\vartheta_{сбл}} = \frac{6 м}{2 м/с} = 3 с $$ Но мышке нужно пробежать до норки всего 2 м. Время, которое ей для этого нужно: $$ t' = \frac{S_{мн}}{\vartheta_{м}} = \frac{2 м}{1 м/с} = 2 с $$ За эти 2 секунды, пока мышка бежит к норке, кот пробежит: $$ S_{кн} = \vartheta_{к} \cdot t' = 3 \frac{м}{с} \cdot 2 с = 6 м $$ Мышка уже в норке через $t'=2$ с, а у кота до норки еще осталось расстояние: $$ 8 м - 6 м = 2 м $$ Ответ через 2 с от начала наблюдения мышка спрячется в норке, а кот будет еще в 2 метрах от норки. Не догонит.