Относительное движение Часть 2: Относительное движение

Задача 5

Условие

Старшеклассник Егор сделал радар для определения скорости автомобилей. Однажды он ехал с отцом в машине по прямому участку шоссе и решил измерить с помощью своего радара скорости автомобилей, которые двигались в ту же сторону спереди и сзади их автомашины. Радар показал, что передняя машина движется со скоростью \vartheta_1 = 7 м/с, а задняя со скоростью \vartheta_2 = 12 м/с. Известно, что передний автомобиль движется со скоростью 90 км/час, а задний со скоростью 72 км/час относительно земли. Какова может быть скорость автомобиля Егора? Радар измеряет скорости машин относительно самого себя.

Решение

Сначала приведем скорости автомобилей относительно земли к м/с: \vartheta_{пер} = 90 \frac{км}{ч} = 25 \frac{м}{с} \vartheta_{задн} = 72 \frac{км}{ч} = 20 \frac{м}{с} Пусть скорость автомобиля Егора — \vartheta_{Е} .

Авто Егора может, как приближаться, так и удаляться по отношению к переднему и заднему авто, нужно рассмотреть все возможные случаи.

С передним авто Относительная скорость 7 м/с. Возможны два варианта: 1) \vartheta_{Е} - \vartheta_{пер} = 7 \implies \vartheta_{Е} = 7 + 25 = 32 \frac{м}{с} 2) \vartheta_{пер} - \vartheta_{Е} = 7 \implies \vartheta_{Е} = 25 - 7 = 18 \frac{м}{с}

С задним авто Относительная скорость 12 м/с. Возможны два варианта: 1) \vartheta_{Е} - \vartheta_{задн} = 12 \implies \vartheta_{Е} = 12 + 20 = 32 \frac{м}{с} 2) \vartheta_{задн} - \vartheta_{Е} = 12 \implies \vartheta_{Е} = 20 - 12 = 8 \frac{м}{с}

Скорость автомобиля Егора должна быть одной и той же в обоих случаях. Сравнивая полученные результаты, видим, что единственное совпадающее значение — 32 м/с.

Ответ 32 \frac{м}{с} .

Задача 6

Условие

Пассажирский поезд, движущийся с постоянной скоростью \vartheta , проезжает туннель длины L за то же самое время, что этот же поезд проезжает мимо движущегося навстречу ему со скоростью 3\vartheta товарного состава, имеющего длину 6L . Чему равна длина пассажирского поезда?

Решение

1) Через туннель

8 Чтобы полностью проехать туннель, "голова" поезда должна пройти расстояние, равное сумме длины туннеля L и собственной длины поезда l_x . t_1 = \frac{L+l_x}{\vartheta}

2) Навстречу товарному составу

9 При движении навстречу их относительная скорость (скорость сближения) равна \vartheta_{отн} = \vartheta + 3\vartheta = 4\vartheta . Расстояние, которое должны пройти поезда относительно друг друга от момента встречи "головами" до момента расхождения "хвостами", равно сумме их длин: l_x + 6L . t_2 = \frac{l_x + 6L}{\vartheta_{отн}} = \frac{l_x + 6L}{4\vartheta}

Т.к. t_1 = t_2 : \frac{L+l_x}{\vartheta} = \frac{l_x + 6L}{4\vartheta} Умножим обе части на 4\vartheta : 4(L+l_x) = l_x + 6L 4L + 4l_x = l_x + 6L 3l_x = 2L l_x = \frac{2L}{3}

Ответ \displaystyle\frac{2L}{3} .

Задача 7

Условие

По ровному полу в сторону своей норки бежит мышка со скоростью 1 м/с. Вслед за мышкой вдоль этой же прямой гонится кот со скоростью 3 м/с. Удастся ли коту поймать мышку, если в тот момент, когда мы начали наблюдение, расстояние между ними составляло 6 м, а расстояние от мышки до её норки равно 2 м?

Решение

1 способ (через систему отсчета)

Введем систему отсчета (СО).

10 А) Зададим начальные координаты ( t=0 ): x_{0к} = 0 м x_{0м} = 6 м x_{н} = 8 м (координата норки)

Б) Запишем уравнения движения для кота и мышки: x_{к} = x_{0к} + \vartheta_{к}t = 0 + 3t x_{м} = x_{0м} + \vartheta_{м}t = 6 + 1t

В) Найдем время встречи, если бы норки не было. Условие встречи x_{к} = x_{м} : 3t = 6 + 1t 2t = 6 t = 3 с

Г) Найдем, где окажется кот через t = 3 с: x_{к} = 3 \cdot 3 = 9 м

Д) Найдем момент времени t_{н} , когда мышка добежит до норки. В этот момент координата мышки будет равна координате норки ( x_{м} = x_{н} ): 6 + 1t_{н} = 8 t_{н} = 2 с Поскольку мышка окажется в норке через 2 секунды, а кот догонит ее только через 3 секунды, мышка успеет спрятаться.

2 способ (через относительную скорость)

Скорость сближения кота и мышки: \vartheta_{сбл} = \vartheta_{к} - \vartheta_{м} = 3 - 1 = 2 \frac{м}{с} Время, через которое кот догнал бы мышку: t = \frac{S_{сбл}}{\vartheta_{сбл}} = \frac{6 м}{2 м/с} = 3 с Но мышке нужно пробежать до норки всего 2 м. Время, которое ей для этого нужно: t' = \frac{S_{мн}}{\vartheta_{м}} = \frac{2 м}{1 м/с} = 2 с За эти 2 секунды, пока мышка бежит к норке, кот пробежит: S_{кн} = \vartheta_{к} \cdot t' = 3 \frac{м}{с} \cdot 2 с = 6 м Мышка уже в норке через t'=2 с, а у кота до норки еще осталось расстояние: 8 м - 6 м = 2 м

Ответ через 2 с от начала наблюдения мышка спрячется в норке, а кот будет еще в 2 метрах от норки. Не догонит.