Мощность. КПД

Задача 1 Условие У основания наклонной плоскости находился в покое брусок массой $m = 250$ г, связанный нерастяжимой легкой нитью с электромотором, закрепленным на вершине наклонной плоскости. Когда включили электромотор, брусок за промежуток времени $\Delta t = 1,0$ с поднялся на высоту $h = 80$ см, разогнавшись до скорости $\vartheta = 3,2$ м/с. Определите среднюю мощность силы тяги электромотора, если за промежуток времени $\Delta t$ силой трения, действующей на движущийся брусок, была совершена работа $A_{\text{тр}} = -3,72$ Дж. Коэффициент $g = 10$ Н/кг. Решение 1) $$N_{\text{ср тяги}} = \frac{A_{\text{тяги}}}{\Delta t}$$ 2) Работа силы тяги пошла на увеличение потенциальной энергии груза, на сообщение ему кинетической энергии, кроме силы тяги работу совершила сила трения: $$A_{\text{тяги}} + A_{\text{тр}} = E_{\text{П}} + E_{\text{К}}$$ $$A_{\text{тяги}} = E_{\text{К}} + E_{\text{П}} - A_{\text{тр}}$$ 3) $$N_{\text{ср тяги}} = \frac{E_{\text{К}} + E_{\text{П}} - A_{\text{тр}}}{\Delta t}$$ $$N_{\text{ср тяги}} = \frac{mgh + \frac{m\vartheta^2}{2} - A_{\text{тр}}}{\Delta t}$$ $$N_{\text{ср тяги}} = \frac{0,25 \text{ кг} \left(10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 0,8 \text{ м} + \frac{(3,2)^2 \text{ м}^2}{2 \text{ с}^2}\right) - (-3,72 \text{ Дж})}{1 \text{ с}} = 7 \text{ Вт}$$ Ответ 7 Вт Задача 2 Условие Двигатель подъемного крана мощностью $N = 32$ кВт равномерно поднимает груз со скоростью $\vartheta = 4,8$ м/с, $\eta = 78\%$. Чему равна наибольшая масса груза, которую может поднять кран при этих условиях? Решение *Если в условии задачи или в ее вопросе есть $\eta$, то решение лучше начинать с записи КПД $$\eta = \frac{A_{\text{полезн}}}{A_{\text{затрач}}}$$ $$A_{\text{полезн}} = F_{\text{тяги}} h = F_{\text{тяги}} \vartheta \Delta t$$ $$A_{\text{затр}} = N \Delta t$$ $$\eta = \frac{F_{\text{тяги}} \vartheta \Delta t}{N \Delta t} = \frac{F_{\text{тяги}} \vartheta}{N} = \frac{mg\vartheta}{N}$$ (так как $F_{\text{тяги}} = mg$, $\vartheta = const$) $$m = \frac{\eta N}{g\vartheta}$$ $$m = \frac{32000 \cdot 0,78}{10 \cdot 4,8} = 520 \text{ (кг)}$$ $$[m] = \frac{\text{Вт}}{\frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}} = \frac{\text{Вт} \cdot \text{с} \cdot \text{кг}}{\text{Н} \cdot \text{м}} = \frac{\text{Дж} \cdot \text{кг}}{\text{Дж}} = \text{кг}$$ Ответ 520 кг Задача 3 Условие Баба Дуся поднимает на цепи из колодца глубиной $h = 10$ м ведро с водой. Масса пустого ведра без воды равна $m_1 = 0,5$ кг, масса цепи длиной $h$ равна $m_2 = 2$ кг, а масса воды, поднимаемой в ведре, равна $M = 8$ кг. Скорость ведра в конце подъёма равна нулю. Снимая ведро с цепи, баба Дуся случайно проливает $k = 20\%$ находящейся в нём воды обратно в колодец. Найдите КПД бабы Дуси в процессе подъёма воды. Цепь однородна. Полезным эффектом считается изменение потенциальной энергии доставленной в итоге наверх воды. Решение $$\eta = \frac{A_{\text{полезн}}}{A_{\text{затр}}} = \frac{(M - \Delta M)gh}{(M + m_1)gh + m_2 g \frac{h}{2}}$$ $$\eta = \frac{(8 - 1,6)10 \cdot 10}{8,5 \cdot 10 \cdot 10 + 2 \cdot 10 \cdot 5} = 0,673 = 67,3\%$$ Ответ 67,3%