Мощность. КПД

Задача 3 Условие При подъёме груза кран работал в два этапа. Сначала он совершил четверть всей работы, развивая некоторую мощность $N_1$, а затем оставшуюся работу совершил, развивая мощность $N_2 = 2000$ Вт. Оказалось, что средняя мощность подъёмного крана за время совершения всей работы равна $N = 1600$ Вт. Найдите мощность $N_1$. Решение 1) $t$ – время совершения всей работы $A$. $$A = N \cdot t$$ 2) На 1-ом этапе работы: $$A_1 = N_1 \cdot t_1 = 0,25 N \cdot t \Rightarrow t_1 = \frac{0,25 N \cdot t}{N_1}$$ 3) На 2-ом этапе работы: $$A_2 = N_2 \cdot t_2 = 0,75 N \cdot t \Rightarrow t_2 = \frac{0,75 N \cdot t}{N_2}$$ 4) Средняя мощность: $$N_{cp} = \frac{A}{t} = \frac{N \cdot t}{\frac{0,25 N \cdot t}{N_1} + \frac{0,75 N \cdot t}{N_2}}$$ $$N_{cp} = \frac{1}{\frac{1}{4N_1} + \frac{3}{4N_2}} = \frac{1}{\frac{N_2 + 3N_1}{4N_1 N_2}} = \frac{4 N_1 N_2}{3N_1 + N_2}$$ $$N_{cp}(3N_1 + N_2) = 4N_1 N_2$$ $$3N_1 N_{cp} + N_{cp} N_2 = 4N_1 N_2$$ $$N_{cp} N_2 = 4N_1 N_2 - 3N_1 N_{cp}$$ $$N_{cp} N_2 = N_1(4N_2 - 3N_{cp})$$ $$N_1 = \frac{N_{cp} \cdot N_2}{4N_2 - 3N_{cp}}$$ $$N_1 = \frac{1600 \cdot 2000}{4 \cdot 2000 - 3 \cdot 1600} = 1000 \text{ Вт}$$ Ответ 1000 Вт Задача 4 Условие Бассейн наполняют горячей и холодной водой, которую перекачивают по горизонтальным одинаковым трубам, расположенным в верхней части бассейна. Во сколько раз объем холодной воды больше объема горячей воды, поступающих в бассейн за одно и то же время, если мощность насоса, перекачивающего холодную воду в $n = 8$ раз больше мощности насоса, перекачивающего горячую воду? Силы трения не учитывать. Решение Для горячей воды: $N_1$ — мощность насоса; $\Delta t$ — время заполнения бассейна; $$A_1 = \frac{m_1 \vartheta_1^2}{2} - \text{с одной стороны;}$$ $$A_1 = N_1 \Delta t - \text{с другой стороны;}$$ $m_1 = \rho S \vartheta_1 t$ — масса горячей воды; $\vartheta_1$ — скорость горячей воды. $$N_1 \Delta t = \frac{m_1 \vartheta_1^2}{2}$$ $$N_1 \Delta t = \frac{1}{2} \rho S \vartheta_1 \Delta t \cdot \vartheta_1^2$$ $$N_1 = \frac{1}{2} \rho S \vartheta_1^3$$ Аналогично для холодной воды: $$N_2 = \frac{1}{2} \rho S \vartheta_2^3$$ По условию задачи: $$\frac{N_2}{N_1} = 8$$ $$\frac{\frac{1}{2}\rho S \vartheta_2^3}{\frac{1}{2}\rho S \vartheta_1^3} = 8 \Rightarrow \left(\frac{\vartheta_2}{\vartheta_1}\right)^3 = 8 \Rightarrow \frac{\vartheta_2}{\vartheta_1} = 2$$ Тогда отношение объёмов: $$\frac{V_2}{V_1} = \frac{S \vartheta_2 \Delta t}{S \vartheta_1 \Delta t} = \frac{\vartheta_2}{\vartheta_1} = 2$$ Ответ $V_2 > V_1$ в 2 раза.