Мощность. КПД

Задача 3

Условие

При подъёме груза кран работал в два этапа. Сначала он совершил четверть всей работы, развивая некоторую мощность N_1 , а затем оставшуюся работу совершил, развивая мощность N_2 = 2000 Вт. Оказалось, что средняя мощность подъёмного крана за время совершения всей работы равна N = 1600 Вт. Найдите мощность N_1 .

Решение

1) t – время совершения всей работы A . A = N \cdot t

2) На 1-ом этапе работы: A_1 = N_1 \cdot t_1 = 0,25 N \cdot t \Rightarrow t_1 = \frac{0,25 N \cdot t}{N_1}

3) На 2-ом этапе работы: A_2 = N_2 \cdot t_2 = 0,75 N \cdot t \Rightarrow t_2 = \frac{0,75 N \cdot t}{N_2}

4) Средняя мощность: N_{cp} = \frac{A}{t} = \frac{N \cdot t}{\frac{0,25 N \cdot t}{N_1} + \frac{0,75 N \cdot t}{N_2}} N_{cp} = \frac{1}{\frac{1}{4N_1} + \frac{3}{4N_2}} = \frac{1}{\frac{N_2 + 3N_1}{4N_1 N_2}} = \frac{4 N_1 N_2}{3N_1 + N_2} N_{cp}(3N_1 + N_2) = 4N_1 N_2 3N_1 N_{cp} + N_{cp} N_2 = 4N_1 N_2 N_{cp} N_2 = 4N_1 N_2 - 3N_1 N_{cp} N_{cp} N_2 = N_1(4N_2 - 3N_{cp}) N_1 = \frac{N_{cp} \cdot N_2}{4N_2 - 3N_{cp}} N_1 = \frac{1600 \cdot 2000}{4 \cdot 2000 - 3 \cdot 1600} = 1000 \text{ Вт}

Ответ 1000 Вт

Задача 4

Условие

Бассейн наполняют горячей и холодной водой, которую перекачивают по горизонтальным одинаковым трубам, расположенным в верхней части бассейна. Во сколько раз объем холодной воды больше объема горячей воды, поступающих в бассейн за одно и то же время, если мощность насоса, перекачивающего холодную воду в n = 8 раз больше мощности насоса, перекачивающего горячую воду? Силы трения не учитывать.

Решение Для горячей воды: N_1 — мощность насоса; \Delta t — время заполнения бассейна; A_1 = \frac{m_1 \vartheta_1^2}{2} - \text{с одной стороны;} A_1 = N_1 \Delta t - \text{с другой стороны;} m_1 = \rho S \vartheta_1 t — масса горячей воды; \vartheta_1 — скорость горячей воды.

N_1 \Delta t = \frac{m_1 \vartheta_1^2}{2} N_1 \Delta t = \frac{1}{2} \rho S \vartheta_1 \Delta t \cdot \vartheta_1^2 N_1 = \frac{1}{2} \rho S \vartheta_1^3

Аналогично для холодной воды: N_2 = \frac{1}{2} \rho S \vartheta_2^3

По условию задачи: \frac{N_2}{N_1} = 8 \frac{\frac{1}{2}\rho S \vartheta_2^3}{\frac{1}{2}\rho S \vartheta_1^3} = 8 \Rightarrow \left(\frac{\vartheta_2}{\vartheta_1}\right)^3 = 8 \Rightarrow \frac{\vartheta_2}{\vartheta_1} = 2

Тогда отношение объёмов: \frac{V_2}{V_1} = \frac{S \vartheta_2 \Delta t}{S \vartheta_1 \Delta t} = \frac{\vartheta_2}{\vartheta_1} = 2

Ответ V_2 > V_1 в 2 раза.