Молния и ток в газах

Оценим, какую среднюю хаотическую и какую среднюю упорядоченную скорость приобретут электроны при «продавливании» электронного газа сквозь газ нейтральных частиц под воздействием приложенного электрического поля \vec{E} и какой будет их средняя кинетическая энергия. (Предполагаем пока, что ионизация не происходит.)

Примем во внимание, что упорядоченное движение связано с ускорением

a=\frac{e E}{m}, которое электроны имеют во время свободного полета между двумя последовательными ударами, т.е. в течение времени

l=\frac{\lambda}{v_{\text {haot }}}. Связь между средней упорядоченной и средней хаотической скоростями движения может быть, таким образом, выражена соотношением

v_{u p}=\frac{a t}{2}=\frac{\frac{e E}{m} \lambda}{2 v_{\text {haot }}}. Пусть в результате направленного движения за время \tau электрон сместился от своего начального положения навстречу вектору \vec{E} на расстояние

x=v_{u p} \tau=\frac{\frac{e E}{m} \lambda \tau}{2 v_{\text {haot }}}. При этом уменьшение его потенциальной энергии в электрическом поле составило

E e x=\frac{(e E)^2 \lambda \tau}{2 m v_{\text {haot }}}. За это же время в результате хаотического движения этот электрон переместился на расстояние у и испытал N столкновений, причем

N=\frac{v_{\text {haot }} \tau}{\lambda}. Имея в среднем энергию

W=\frac{m v_{\text {haot }}^2}{2}, электрон при каждом ударе отдавал ее \frac{m}{M} -ю часть.

Средняя кинетическая энергия хаотического движения электронов не меняется, а вследствие упорядоченного движения потенциальная энергия каждого электрона в электрическом поле уменьшается. Электроны при соударениях с нейтральными частицами передают им энергию, и газ нагревается. Таким образом, работа сил электрического поля в конце концов идет на повышение температуры газа.

Приравняем величину потерь энергии электрона при ударах уменьшению его потенциальной энергии в электрическом поле:

\frac{m}{M} \frac{m v_{\text {haat }}^2}{2} \frac{v_{\text {haat }} \tau}{\lambda}=\frac{(e E)^2 \lambda \tau}{2 m v_{\text {hat }}}. Отсюда можно найти среднюю скорость хаотического движения, а затем и среднюю скорость упорядоченного движения электронов:

\begin{gathered}

v_{\text {haot }}=\left(\frac{M}{m}\right)^{\frac{1}{4}}\left(\frac{e E \lambda}{m}\right)^{\frac{1}{2}} ;\\

v_{u p}=\frac{\frac{e E}{m} \lambda}{2 v_{\text {haot }}}=\frac{1}{2}\left(\frac{m}{M}\right)^{\frac{1}{4}}\left(\frac{e E \lambda}{m}\right)^{\frac{1}{2}}.

\end{gathered} Из полученных формул видно, что средняя скорость хаотического движения электронов в 2\left(\frac{M}{m}\right)^{\frac{1}{2}} раз больше средней скорости их упорядоченного движения. Даже для такого легкого газа, как гелий, это отношение равно приблизительно 170. Кинетическая энергия электронов связана, в основном, со средней скоростью их хаотического движения (вклад упорядоченного движения пренебрежимо мал):

W=\left(\frac{M}{m}\right)^{\frac{1}{2}} \frac{e E \lambda}{2}. (Это выражение справедливо, только если W \gg k T , если это не так, то средняя кинетическая энергия движения электронов, согласно классической молекулярно-кинетической теории, конечно же, равна \frac{3}{2} k T .) Заметим, что средние кинетические энергии хаотического движения нейтральных частиц и электронов после включения электрического поля значительно различаются. В физике даже вводится специальное понятие - электронная температур

T_{e l}=\left(\frac{M}{m}\right)^{\frac{1}{2}} \frac{e E \lambda}{3 k}. При соответствующем значении напряженности электрического поля E эта величина может быть значительно больше температуры нейтральных частиц.