Молния и ток в газах

Оценим, какую среднюю хаотическую и какую среднюю упорядоченную скорость приобретут электроны при «продавливании» электронного газа сквозь газ нейтральных частиц под воздействием приложенного электрического поля $\vec{E}$ и какой будет их средняя кинетическая энергия. (Предполагаем пока, что ионизация не происходит.) Примем во внимание, что упорядоченное движение связано с ускорением $$ a=\frac{e E}{m}, $$ которое электроны имеют во время свободного полета между двумя последовательными ударами, т.е. в течение времени $$ l=\frac{\lambda}{v_{\text {haot }}}. $$ Связь между средней упорядоченной и средней хаотической скоростями движения может быть, таким образом, выражена соотношением $$ v_{u p}=\frac{a t}{2}=\frac{\frac{e E}{m} \lambda}{2 v_{\text {haot }}}. $$ Пусть в результате направленного движения за время $\tau$ электрон сместился от своего начального положения навстречу вектору $\vec{E}$ на расстояние $$ x=v_{u p} \tau=\frac{\frac{e E}{m} \lambda \tau}{2 v_{\text {haot }}}. $$ При этом уменьшение его потенциальной энергии в электрическом поле составило $$ E e x=\frac{(e E)^2 \lambda \tau}{2 m v_{\text {haot }}}. $$ За это же время в результате хаотического движения этот электрон переместился на расстояние у и испытал $N$ столкновений, причем $$ N=\frac{v_{\text {haot }} \tau}{\lambda}. $$ Имея в среднем энергию $$ W=\frac{m v_{\text {haot }}^2}{2}, $$ электрон при каждом ударе отдавал ее $\frac{m}{M}$-ю часть. Средняя кинетическая энергия хаотического движения электронов не меняется, а вследствие упорядоченного движения потенциальная энергия каждого электрона в электрическом поле уменьшается. Электроны при соударениях с нейтральными частицами передают им энергию, и газ нагревается. Таким образом, работа сил электрического поля в конце концов идет на повышение температуры газа. Приравняем величину потерь энергии электрона при ударах уменьшению его потенциальной энергии в электрическом поле: $$ \frac{m}{M} \frac{m v_{\text {haat }}^2}{2} \frac{v_{\text {haat }} \tau}{\lambda}=\frac{(e E)^2 \lambda \tau}{2 m v_{\text {hat }}}. $$ Отсюда можно найти среднюю скорость хаотического движения, а затем и среднюю скорость упорядоченного движения электронов: $$ \begin{gathered} v_{\text {haot }}=\left(\frac{M}{m}\right)^{\frac{1}{4}}\left(\frac{e E \lambda}{m}\right)^{\frac{1}{2}} ;\\ v_{u p}=\frac{\frac{e E}{m} \lambda}{2 v_{\text {haot }}}=\frac{1}{2}\left(\frac{m}{M}\right)^{\frac{1}{4}}\left(\frac{e E \lambda}{m}\right)^{\frac{1}{2}}. \end{gathered} $$ Из полученных формул видно, что средняя скорость хаотического движения электронов в $2\left(\frac{M}{m}\right)^{\frac{1}{2}}$ раз больше средней скорости их упорядоченного движения. Даже для такого легкого газа, как гелий, это отношение равно приблизительно 170. Кинетическая энергия электронов связана, в основном, со средней скоростью их хаотического движения (вклад упорядоченного движения пренебрежимо мал): $$ W=\left(\frac{M}{m}\right)^{\frac{1}{2}} \frac{e E \lambda}{2}. $$ (Это выражение справедливо, только если $W \gg k T$, если это не так, то средняя кинетическая энергия движения электронов, согласно классической молекулярно-кинетической теории, конечно же, равна $\frac{3}{2} k T$.) Заметим, что средние кинетические энергии хаотического движения нейтральных частиц и электронов после включения электрического поля значительно различаются. В физике даже вводится специальное понятие - электронная температур $$ T_{e l}=\left(\frac{M}{m}\right)^{\frac{1}{2}} \frac{e E \lambda}{3 k}. $$ При соответствующем значении напряженности электрического поля $E$ эта величина может быть значительно больше температуры нейтральных частиц.