Звезды и галактики: Лекция 2

1. Радиус звезды достаточно большой, концентрация электронов не очень высокая, и они нерелятивистские \left(p_{F} \ll m_{e} c\right) , и поэтому \varepsilon \approx p^{2} / 2 m . Тогда кинетическая энергия электронного газа

E_{K}=V \int\limits_{0}^{p_{F}} \frac{4 \pi p^{2} d p}{h^{3}} \frac{p^{2}}{2 m_{e}}=V \frac{2 \pi p_{F}^{5}}{5 m_{e} h^{3}}=\frac{3\left(3 \pi^{2}\right)^{2 / 3}}{80 \pi} \frac{h^{2} N_{e}^{5 / 3}}{m_{e} V^{2 / 3}} . Число электронов в звездах примерно равно количеству протонов (основной материал водород), а масса этих электронов намного меньше массы протона, так что, если обозначить m массу атома водорода, то (с учетом V=\frac{4 \pi}{3} R^{3} )

E_{K} \approx \frac{3}{80 \pi}\left(\frac{9 \pi}{4}\right)^{2 / 3} \frac{h^{2}}{m_{e} R^{2}}\left(\frac{M}{m}\right)^{5 / 3} . Энергию покоя вещества у звезды отнять нельзя, а сумма кинетической и потенциальной энергий, которая должна быть минимальна в положении равновесия, оказывается равной

E=E_{g}+E_{K} \approx-\frac{3}{5} \frac{G M^{2}}{R}+\frac{3}{80 \pi}\left(\frac{9 \pi}{4}\right)^{2 / 3} \frac{h^{2}}{m_{e} R^{2}}\left(\frac{M}{m}\right)^{5 / 3} . Как видно, на больших расстояниях \quad R \gg R_{0} \equiv\left(\frac{9 \pi}{4} \sqrt{\frac{m}{M}}\right)^{2 / 3} \frac{h^{2}}{16 \pi m_{e} m^{2} G} \quad доминирует гравитационное сжатие (энергия отрицательна и растет с ростом R ), так что звезда стремится уменьшить свой радиус), а при R \ll R_{0} доминирует давление газа. В этом случае R_{0} должно быть радиусом звезды в устойчивом положении равновесия, которое существует при любой массе M . Однако численный расчет показывает, что для масс порядка массы Солнца или больше значение импульса Ферми электронов в веществе звезды радиуса R_{0} уже больше m_{e} c ! Так что для изучения этой области значений радиуса нам нужно отказаться от нерелятивистского приближения.

2. Посмотрим противоположное приближение - ультрарелятивистское, то есть p_{F} \gg m_{e} c . В этом случае \varepsilon \approx c p , и полностью аналогичные вычисления приведут к другому результату:

E_{K}=V \int_{0}^{p_{F}} \frac{4 \pi p^{2} d p}{h^{3}} c p=V \frac{\pi c p_{F}^{4}}{h^{3}}=\frac{3\left(3 \pi^{2}\right)^{1 / 3}}{16 \pi} \frac{h c N_{e}^{4 / 3}}{V^{1 / 3}} Таким образом, для малых радиусов на самом деле

E=E_{g}+E_{K} \approx \frac{1}{R}\left[-\frac{3}{5} G M^{2}+\frac{3}{16 \pi}\left(\frac{3}{4}\right)^{1 / 3}\left(\frac{M}{m}\right)^{4 / 3} h c\right] Как видно, в этом случае сжатие останавливается (энергия при R \rightarrow 0 становится положительной) только если второе слагаемое по модулю больше первого, то есть при массе звезды меньше «предела Чандрасекара»

M_{C h}=\frac{1}{2 m^{2}}\left(\frac{5 h c}{16 \pi G}\right)^{3 / 2} \approx 1,44 \cdot M_{\odot} Здесь M_{\odot} - масса Солнца. В результате мы понимаем, что белые карлики устойчивы при массах, не превышающих этого значения. И действительно, у все найденных астрономами белых карликов массы удовлетворяют этому ограничению. Самое удивительное, что в эту формулу, описывающую ограничение на массу устойчивых звезд, входит постоянная Планка - фундаментальная константа физики микромира! К тому же полезно обратить внимание, что в процессе ее вывода мы пользовались не только положениями квантовой теории, но и СТО! Так что белый карлик одновременно является квантовым и релятивистским объектом, и модель Чандрасекара дала рождение новой области физики, названной позднее «релятивистской астрофизикой».