Звезды и галактики

1. Радиус звезды достаточно большой, концентрация электронов не очень высокая, и они нерелятивистские $\left(p_{F} \ll m_{e} c\right)$, и поэтому $\varepsilon \approx p^{2} / 2 m$. Тогда кинетическая энергия электронного газа $$ E_{K}=V \int\limits_{0}^{p_{F}} \frac{4 \pi p^{2} d p}{h^{3}} \frac{p^{2}}{2 m_{e}}=V \frac{2 \pi p_{F}^{5}}{5 m_{e} h^{3}}=\frac{3\left(3 \pi^{2}\right)^{2 / 3}}{80 \pi} \frac{h^{2} N_{e}^{5 / 3}}{m_{e} V^{2 / 3}} . $$ Число электронов в звездах примерно равно количеству протонов (основной материал водород), а масса этих электронов намного меньше массы протона, так что, если обозначить $m$ массу атома водорода, то (с учетом $V=\frac{4 \pi}{3} R^{3}$ ) $$ E_{K} \approx \frac{3}{80 \pi}\left(\frac{9 \pi}{4}\right)^{2 / 3} \frac{h^{2}}{m_{e} R^{2}}\left(\frac{M}{m}\right)^{5 / 3} . $$ Энергию покоя вещества у звезды отнять нельзя, а сумма кинетической и потенциальной энергий, которая должна быть минимальна в положении равновесия, оказывается равной $$ E=E_{g}+E_{K} \approx-\frac{3}{5} \frac{G M^{2}}{R}+\frac{3}{80 \pi}\left(\frac{9 \pi}{4}\right)^{2 / 3} \frac{h^{2}}{m_{e} R^{2}}\left(\frac{M}{m}\right)^{5 / 3} . $$ Как видно, на больших расстояниях $\quad R \gg R_{0} \equiv\left(\frac{9 \pi}{4} \sqrt{\frac{m}{M}}\right)^{2 / 3} \frac{h^{2}}{16 \pi m_{e} m^{2} G} \quad$ доминирует гравитационное сжатие (энергия отрицательна и растет с ростом $R$ ), так что звезда стремится уменьшить свой радиус), а при $R \ll R_{0}$ доминирует давление газа. В этом случае $R_{0}$ должно быть радиусом звезды в устойчивом положении равновесия, которое существует при любой массе $M$. Однако численный расчет показывает, что для масс порядка массы Солнца или больше значение импульса Ферми электронов в веществе звезды радиуса $R_{0}$ уже больше $m_{e} c$ ! Так что для изучения этой области значений радиуса нам нужно отказаться от нерелятивистского приближения. 2. Посмотрим противоположное приближение - ультрарелятивистское, то есть $p_{F} \gg m_{e} c$. В этом случае $\varepsilon \approx c p$, и полностью аналогичные вычисления приведут к другому результату: $$ E_{K}=V \int_{0}^{p_{F}} \frac{4 \pi p^{2} d p}{h^{3}} c p=V \frac{\pi c p_{F}^{4}}{h^{3}}=\frac{3\left(3 \pi^{2}\right)^{1 / 3}}{16 \pi} \frac{h c N_{e}^{4 / 3}}{V^{1 / 3}} $$ Таким образом, для малых радиусов на самом деле $$ E=E_{g}+E_{K} \approx \frac{1}{R}\left[-\frac{3}{5} G M^{2}+\frac{3}{16 \pi}\left(\frac{3}{4}\right)^{1 / 3}\left(\frac{M}{m}\right)^{4 / 3} h c\right] $$ Как видно, в этом случае сжатие останавливается (энергия при $R \rightarrow 0$ становится положительной) только если второе слагаемое по модулю больше первого, то есть при массе звезды меньше «предела Чандрасекара» $$ M_{C h}=\frac{1}{2 m^{2}}\left(\frac{5 h c}{16 \pi G}\right)^{3 / 2} \approx 1,44 \cdot M_{\odot} $$ Здесь $M_{\odot}$ - масса Солнца. В результате мы понимаем, что белые карлики устойчивы при массах, не превышающих этого значения. И действительно, у все найденных астрономами белых карликов массы удовлетворяют этому ограничению. Самое удивительное, что в эту формулу, описывающую ограничение на массу устойчивых звезд, входит постоянная Планка - фундаментальная константа физики микромира! К тому же полезно обратить внимание, что в процессе ее вывода мы пользовались не только положениями квантовой теории, но и СТО! Так что белый карлик одновременно является квантовым и релятивистским объектом, и модель Чандрасекара дала рождение новой области физики, названной позднее «релятивистской астрофизикой».