Релятивистская механика

Часть 3: Примеры решения задач механики с помощью законов сохранения. Пример 1: Может ли фотон* в вакууме породить электрон-позитронную пару? *Фотоны - квантьс света. Взаимодействуя с вакуумом в некотором силовом поле (например, вблизи ядра атома вещества) они действительно могут рождать электронпозитронные пары. Позитрон - «античастица» электрона, имеющая такую же массу и противоположный знак заряда. Подробнее см. раздел «Атомная и ядерная физика». Решение: Запишем законы сохранения энергии и импульса для процесса $\gamma \rightarrow e^{-} e^{+}$(обозначив импульс фотона $\vec{q}$, а импульсы электрона и позитрона $\vec{p}_{1,2}$ ): $$\left\{\begin{array}{c}\vec{q}=\vec{p}_1+\vec{p}_2 \\ c q=\sqrt{m^2 c^4+c^2 p_1^2}+\sqrt{m^2 c^4+c^2 p_2^2}\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{c}q^2=p_1^2+p_2^2+2 p_1 p_2 \cos (\theta) \\ q^2=2 m^2 c^2+p_1^2+p_2^2+2 \sqrt{m^2 c^2+p_1^2} \sqrt{m^2 c^2+p_2^2}\end{array}\right.$$ (здесь $m$ - масса покоя электрона, а $\theta$ - неизвестный угол разлета «пары»). Следствием этих уравнений является соотношение $p_{1} p_{2} \cos (\theta)=m^{2} c^{2}+\sqrt{m^{2} c^{2}+p_{1}^{2}} \sqrt{m^{2} c^{2}+p_{2}^{2}}$, которое не может быть выполнено ни при каких $\theta$, так как его левая часть всегда меньше правой. Значит, такой процесс невозможен без объекта, который примет на себя часть импульса фотона. Пример 2: Фотон с импульсом $\vec{q}$ рассеивается на покоящемся свободном электроне, и угол рассеяния равен $\theta$. Найти импульс рассеянного фотона. Решение: Пусть $\vec{q}^{\prime}$ и $\vec{p}^{\prime}$ и - импульсы рассеянного фотона и электрона в конечном состоянии. Тогда, в соответствии с законами сохранения: $$ \left\{\begin{array}{c} \vec{q}=\vec{q}^{\prime}+\vec{p}^{\prime} \\ c q+m c^{2}=c q^{\prime}+\sqrt{m^{2} c^{4}+c^{2} p^{\prime 2}} \end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} p^{\prime 2}=q^{2}+q^{\prime 2}-2 q q^{\prime} \cos (\theta) \\ m^{2} c^{2}+p^{\prime 2}=\left(m c+q-q^{\prime}\right)^{2} \end{array}\right. $$ Подставляя $p^{\prime 2}$ из первого уравнение во второе, находим: $\frac{1}{q^{\prime}}=\frac{1}{q}+\frac{1-\cos (\theta)}{m c}$ (как видно, очень просто выглядит выражение для обратного импульса). Пример 3: Пусть в некотором детекторе зарегистрированы две пары «электрон-позитрон», рожденные двумя фотонами. Суммарная энергия электрона и позитрона в каждой из пар оказалась равна $E_{1}$ и $E_{2}$ соответственно, и при этом оказалось, что линии движения породивших их фотонов пересекаются в одной точке, причем угол между этими линиями равен $\vartheta$. Возникло предположение, что фотоны появились вследствие произошедшего в этой точке распада нейтральной частицы. Найти массу этой частицы (сравнив это значение с массами существующих частиц, можно проверить справедливость предположения). Решение: Фотоны имеют нулевую массу покоя, поэтому их энергии (равные суммарным энергиям рожденных пар) связаны с импульсами соотношениями $E_{1,2}=c\left|\vec{p}_{1,2}\right|$. Энергия и импульс распавшейся частицы равны сумме энергий и импульсов фотонов: $E=E_{1}+E_{2}, \vec{p}=\vec{p}_{1}+\vec{p}_{2}$. Поэтому $$ \begin{aligned} & m^{2} c^{4}=E^{2}-c^{2} \vec{p}^{2}=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+2 E_{1} E_{2}-c^{2} \vec{p}_{1}^{2}-c^{2} \vec{p}_{2}^{2}-2 c^{2}\left|\vec{p}_{1} \| \vec{p}_{2}\right| \cos \vartheta= \\ & =2 E_{1} E_{2}(1-\cos \vartheta)=4 E_{1} E_{2} \sin ^{2}\left(\frac{\vartheta}{2}\right) \\ \text { то есть } m & =\frac{2 \sqrt{E_{1} E_{2}}}{c^{2}} \sin \left(\frac{\vartheta}{2}\right) . \end{aligned} $$