Релятивистская механика: Часть 3

Часть 3: Примеры решения задач механики с помощью законов сохранения.

Пример 1: Может ли фотон* в вакууме породить электрон-позитронную пару?

*Фотоны - квантьс света. Взаимодействуя с вакуумом в некотором силовом поле (например, вблизи ядра атома вещества) они действительно могут рождать электронпозитронные пары. Позитрон - «античастица» электрона, имеющая такую же массу и противоположный знак заряда. Подробнее см. раздел «Атомная и ядерная физика».

Решение:

Запишем законы сохранения энергии и импульса для процесса \gamma \rightarrow e^{-} e^{+} (обозначив импульс фотона \vec{q} , а импульсы электрона и позитрона \vec{p}_{1,2} ):

\left\{\begin{array}{c}\vec{q}=\vec{p}_1+\vec{p}_2 \\ c q=\sqrt{m^2 c^4+c^2 p_1^2}+\sqrt{m^2 c^4+c^2 p_2^2}\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{c}q^2=p_1^2+p_2^2+2 p_1 p_2 \cos (\theta) \\ q^2=2 m^2 c^2+p_1^2+p_2^2+2 \sqrt{m^2 c^2+p_1^2} \sqrt{m^2 c^2+p_2^2}\end{array}\right. (здесь m - масса покоя электрона, а \theta - неизвестный угол разлета «пары»). Следствием этих уравнений является соотношение p_{1} p_{2} \cos (\theta)=m^{2} c^{2}+\sqrt{m^{2} c^{2}+p_{1}^{2}} \sqrt{m^{2} c^{2}+p_{2}^{2}} , которое не может быть выполнено ни при каких \theta , так как его левая часть всегда меньше правой. Значит, такой процесс невозможен без объекта, который примет на себя часть импульса фотона.

Пример 2: Фотон с импульсом \vec{q} рассеивается на покоящемся свободном электроне, и угол рассеяния равен \theta . Найти импульс рассеянного фотона.

Решение:

Пусть \vec{q}^{\prime} и \vec{p}^{\prime} и - импульсы рассеянного фотона и электрона в конечном состоянии. Тогда, в соответствии с законами сохранения:

\left\{\begin{array}{c}

\vec{q}=\vec{q}^{\prime}+\vec{p}^{\prime} \\

c q+m c^{2}=c q^{\prime}+\sqrt{m^{2} c^{4}+c^{2} p^{\prime 2}}

\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}

p^{\prime 2}=q^{2}+q^{\prime 2}-2 q q^{\prime} \cos (\theta) \\

m^{2} c^{2}+p^{\prime 2}=\left(m c+q-q^{\prime}\right)^{2}

\end{array}\right. Подставляя p^{\prime 2} из первого уравнение во второе, находим: \frac{1}{q^{\prime}}=\frac{1}{q}+\frac{1-\cos (\theta)}{m c} (как видно, очень просто выглядит выражение для обратного импульса).

Пример 3: Пусть в некотором детекторе зарегистрированы две пары «электрон-позитрон», рожденные двумя фотонами. Суммарная энергия электрона и позитрона в каждой из пар оказалась равна E_{1} и E_{2} соответственно, и при этом оказалось, что линии движения породивших их фотонов пересекаются в одной точке, причем угол между этими линиями равен \vartheta . Возникло предположение, что фотоны появились вследствие произошедшего в этой точке распада нейтральной частицы. Найти массу этой частицы (сравнив это значение с массами существующих частиц, можно проверить справедливость предположения).

Решение:

Фотоны имеют нулевую массу покоя, поэтому их энергии (равные суммарным энергиям рожденных пар) связаны с импульсами соотношениями E_{1,2}=c\left|\vec{p}_{1,2}\right| . Энергия и импульс распавшейся частицы равны сумме энергий и импульсов фотонов: E=E_{1}+E_{2}, \vec{p}=\vec{p}_{1}+\vec{p}_{2} . Поэтому

\begin{aligned}

& m^{2} c^{4}=E^{2}-c^{2} \vec{p}^{2}=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+2 E_{1} E_{2}-c^{2} \vec{p}_{1}^{2}-c^{2} \vec{p}_{2}^{2}-2 c^{2}\left|\vec{p}_{1} \| \vec{p}_{2}\right| \cos \vartheta= \\

& =2 E_{1} E_{2}(1-\cos \vartheta)=4 E_{1} E_{2} \sin ^{2}\left(\frac{\vartheta}{2}\right) \\

\text { то есть } m & =\frac{2 \sqrt{E_{1} E_{2}}}{c^{2}} \sin \left(\frac{\vartheta}{2}\right) .

\end{aligned}

Покоящаяся нейтральная частица распадается на частицу с вдвое меньшей

массой покоя и фотон. Какую часть от энергии покоя начальной частицы составляет энергия

фотона? Ответ запишите в процентах. Ответ округлите до десятых

Покоившееся ядро поглощает фотон, энергия которого составляет 48 % от

энергии покоя начального ядра (то есть энергия фотона превращается во внутреннюю

энергию ядра). На сколько процентов увеличилась в результате этого масса покоя ядра?

Ответ запишите с точностью до целого значения.