Релятивистская механика: Часть 2

Часть 2: Механическая энергия в СТО.

Работа силы d A=F d x=F v d t=v d\left[\frac{m_{0} v}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}\right] \equiv d E обеспечивает изменение величины E=\frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}=m(v) c^{2}, \quad которую естественно считать энергией движущегося релятивистского тела. Следует обратить внимание, что она не обращается в ноль при нулевой скорости - величина E_{0}=m_{0} c^{2} называется энергией покоя тела. Полученное соотношение E=m(v) c^{2} называют формулой Эйнштейна. Ей впоследствии был придан более общий смысл, выходящий за рамки чисто механического описания: считается, что она отождествляет две величины, являющие характеристиками состояния тела (зависящие от выбора СО): импульсную массу и полную энергию любого объекта (включающую энергии микроскопических движений частиц тела и потенциальную энергию их взаимодействия!). Справедливость такого подхода впоследствии была подтверждена экспериментами. Например, при нагревании тела его инертность увеличивается вместе с его внутренней энергией. Наиболее ярко эта связь проявляется в микромире - в частности, в свойствах атомных ядер, для которых дефект массы ядра связывают именно с энергией связи составляющих данное ядро частиц. Таким образом, «импульсная масса» есть собственно энергия тела, измеренная в единицах массы.

Разность полной энергии и энергии покоя следует считать энергией движения (кинетической энергией):

E_{K} \equiv E-m_{0} c^{2}=m_{0} c^{2}\left[\frac{1}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}-1\right] причем при v<<c это выражение принимает «привычный» вид:

\frac{1}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} \approx 1+\frac{v^{2}}{2 c^{2}}+O\left(\frac{v^{4}}{c^{4}}\right) \Rightarrow E_{K} \approx \frac{m_{0} v^{2}}{2}+O\left(\frac{v^{4}}{c^{4}}\right) Важный случай - частицы с нулевой массой покоя. Как видно, при m_{0}=0 частица имеет ненулевую энергию только при скорости, равной скорости света. Поэтому такие частицы не могут существовать иначе, чем двигаясь со скоростью света. При этом их импульсная масса отлична от нуля.

Отметим особо, что для любой скорости E^{2}-c^{2} \bar{p}^{2}=m_{0}^{2} c^{4} \quad (соответственно E=\sqrt{m_{0}^{2} c^{4}+c^{2} \vec{p}^{2}} , а для частиц с нулевой массой покоя E=c|\vec{p}| ). Это соотношение удобно применять при решении многих задач. Особенно удобно его использовать при решении уравнений законов сохранения энергии и импульса.

Во сколько раз кинетическая энергия тела при скорости v \ds\frac{24}{25} c больше его энергия покоя? Ответ запишите с точностью до сотых.