Волновые явления

Мы закончим обсуждение разных способов классификации волн обсуждением одного из самых общих и самых важных их признаков - рассмотрим разделение волн на линейные и нелинейные . Для этого вернемся к рассмотрению колебаний. Возможность представить любое колебание пружинного маятника в виде $x(t)=A \cos (\omega t)+B \sin (\omega t)$ тесно связана именно с линейностью уравнения его движения. Действительно, это уравнение приводится к виду, называемому уравнением гармонических колебаний: $$ m \cdot a_{x}=-k x \Rightarrow x_{t}^{\prime \prime}+\frac{k}{m} x=0 \Rightarrow x_{t}^{\prime \prime}+\omega^{2} x=0, $$ в котором и сама функция $x(t)$, и ее вторая производная содержатся в первой степени. Поэтому сумма двух его решений снова оказывается его решением. Комбинируя два независимых решения (с косинусом, отвечающим ненулевому начальному отклонению и с синусом, отвечающим ненулевой начальной скоростью) мы можем записать решение, отвечающее любому начальному отклонению и любой начальной скорости. С точки зрения физики важно, что величины, законы изменения которых являются решением линейных уравнений, подчиняются приничиу суперпозиции: комбинация правильных законов изменения дает правильный закон изменения. Например, законы изменения электрических и магнитных полей в вакууме всегда подчиняются принципу суперпозиции, так как они являются решением линейных уравнений (которые называются уравнениями Максвелла). l 0.55 Все эти рассуждения переносятся и на волны. Если уравнения, описывающие волновые процессы, линейны , то волна от нескольких источников есть суперпозиция (наложение) волн от каждого из них. Именно в этом случае мы называем волны линейными. Принцип суперпозиции очень существенно упрощает описание волн. Например, именно для линейных волн мы можем изучить поведение каждой гармоники ( монохроматической волны , в которой колебания происходят по гармоническому закону с одной частотой), а потом найти полную волну как наложение этих гармоник. Если уравнения волны нелинейны (в этом случае и волну называют нелинейной ), то такая процедура «не работает» - ведь принцип суперпозиции больше не действует. Обычно линейность уравнений обеспечивается достаточно малой амплитудой волн, но в случае акустических волн или световых волн амплитуды, при которых нелинейность становится существенна, отвечают волнам, которые «слишком сильны» для человеческого восприятия. Поэтому мы обычно будем считать, что в наших задачах волны можно считать линейными. Ведь описание нелинейных волн намного сложнее и требует более изощренной математики.