Корпускулярно-волновой дуализм

Часть 3: Условие квантования Бора и атом водорода. Видео

Часть 3: Условие квантования Бора и атом водорода

Неожиданно для объяснения закономерностей атомных спектров удалось использовать идею квантования. В 1913 году Нильс Бор соединил модель Резерфорда с идеей корпускулярно-волнового дуализма. С точки зрения корпускулярно-волновой теории стационарные (то есть живущие достаточно долго) состояния электрона в атоме водорода должны соответствовать «стоячим» волнам, в которых при возвращении в исходную точку «колебания волны» должны совпадать сами с собой. Это означает, что сдвиг фазы волны на замкнутом пути должен быть целым кратным 2 \pi (то есть длина замкнутой траектории микрообъекта должна быть кратна длине волны). Рассмотрим, как эти идеи реализуются при описании спектра атома водорода. Именно для этой задачи Бор сформулировал свои знаменитые постулаты в виде:

Существуют стационарные орбиты электрона в атоме, на которых электрон не излучает и в отсутствие внешних воздействий может находиться очень долго («вечно»).

Электрон излучает (испускает фотон) при переходе с одной стационарной орбиты на другую.

Противоречие этих постулатов с законами классической физики особенно очевидно, если вспомнить, что при движении по криволинейной орбите заряженный электрон испытывает ускорение и обязан излучать электромагнитные волны. Бор также предложил условие, позволяющее отобрать стационарные орбиты. Для круговых орбит оно собственно и означало, что на длине орбиты должно укладываться целое число длин волн (условие Бора), причем длин волны электрона определялась по его импульсу в соответствии с формулой де Бройля:

\frac{2 \pi \mathrm{r}}{\lambda}=\mathrm{n}(\mathrm{n} \in \mathrm{Z}) \Rightarrow \mathrm{r} \cdot \mathrm{p}=\frac{\mathrm{h}}{2 \pi} \cdot \mathrm{n}=\hbar \cdot \mathrm{n}.

Если учесть условие равновесия электрона на орбите, то для атома водорода получим:

\mathrm{m} \frac{\mathrm{v}^{2}}{\mathrm{r}}=\mathrm{k} \frac{\mathrm{e}^{2}}{\mathrm{r}^{2}} \Rightarrow \mathrm{r}=\frac{\mathrm{ke}^{2}}{\mathrm{mv}^{2}} \Rightarrow \mathrm{mvr}=\frac{\mathrm{ke} \mathrm{e}^{2}}{\mathrm{v}}=\hbar \mathrm{n},

и поэтому скорость электрона на орбите и радиус орбиты равны \mathrm{v}=\frac{\mathrm{ke}^{2}}{\hbar \mathrm{n}}, \quad \mathrm{r}=\frac{\hbar^{2} \mathrm{n}^{2}}{\mathrm{mke}^{2}} . Значит, энергия электрона в атоме водорода на стационарной орбите \mathrm{E}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{m}^{2}}{2}-\frac{k \mathrm{e}^{2}}{\mathrm{r}}=-\frac{\mathrm{mk}^{2} \mathrm{e}^{4}}{2 \hbar^{2} \mathrm{n}^{2}}=\frac{\mathrm{E}_{1}}{\mathrm{n}^{2}} . Отметим, что численное значение \mathrm{E}_{1}=-\frac{\mathrm{mk}^{2} \mathrm{e}^{4}}{2 \hbar^{2}} \approx-13,6 эВ. Значит, для ионизации атома водорода из состояния с наинизшей энергией (основного состояния) требуется энергия не меньше 13,6 эВ.

Согласно второму постулату, электрон испустит фотон при переходе с одной орбиты на другую (с более низкой энергией). С учетом закона сохранения энергии и формулы Планка можно найти все возможные частоты фотонов, то есть спектр излучения атома водорода:

v_{\mathrm{nn}^{\prime}}=\frac{\mathrm{E}_{\mathrm{n}}-\mathrm{E}_{\mathrm{n}^{\prime}}}{\mathrm{h}}=\frac{\mathrm{mk}^{2} \mathrm{e}^{4}}{4 \pi \hbar^{3}} \cdot\left(\frac{1}{\mathrm{n}^{\prime 2}}-\frac{1}{\mathrm{n}^{2}}\right) \equiv \mathrm{R} \cdot\left(\frac{1}{\mathrm{n}^{\prime 2}}-\frac{1}{\mathrm{n}^{2}}\right) .

Величина \mathrm{R}=\frac{\mathrm{mk}^{2} \mathrm{e}^{4}}{4 \pi \hbar^{3}} \approx 3,29 \cdot 10^{15} Гц получила название постоянной Ридберга. Видно, что этот спектр - линейчатый (набор дискретных спектральных линий). Более того, для него очевидно работает принцип комбинации частот (ясно, что v_{\mathrm{nk}}=v_{\mathrm{nm}}+v_{\mathrm{mk}} ), а соответствующая формула для длин волн повторяет подобранные при обработке данных экспериментов формулы (типа формулы Бальмера).

В случае разнообразного по составу, сильно нагретого вещества линии многих элементов уширяются (из-за эффекта Доплера, то есть из-за изменения частоты при тепловом движении источника), перекрываются и наблюдается практически непрерывный спектр излучения (как и в случае излучения несвязанных носителей заряда, испытывающих ускорение).

Вычислите \textit{боровский радиус} --- минимальный радиус орбиты электрона в атоме водорода в рамках модели Бора. Ответ запишите в нм, с точностью до тысячных.

Ион He ^+ состоит из ядра с зарядом +2e и одного электрона. Какую минимальную энергию нужно потратить для его \textit{полной ионизации} (то есть для удаления из него этого электрона и превращения в ион He ^{++} )? Ответ запишите в эВ, с точностью до десятых.