Корпускулярно-волновой дуализм

Дифракция частиц, Атомные спектры, Условие квантования Бора и атом водорода Неожиданно для объяснения закономерностей атомных спектров удалось использовать идею квантования. В 1913 году Нильс Бор соединил модель Резерфорда с идеей корпускулярно-волнового дуализма. С точки зрения корпускулярно-волновой теории стационарные (то есть живущие достаточно долго) состояния электрона в атоме водорода должны соответствовать «стоячим» волнам, в которых при возвращении в исходную точку «колебания волны» должны совпадать сами с собой. Это означает, что сдвиг фазы волны на замкнутом пути должен быть целым кратным \(2 \pi\) (то есть длина замкнутой траектории микрообъекта должна быть кратна длине волны). Рассмотрим, как эти идеи реализуются при описании спектра атома водорода. Именно для этой задачи Бор сформулировал свои знаменитые постулаты в виде: Существуют стационарные орбиты электрона в атоме, на которых электрон не излучает и в отсутствие внешних воздействий может находиться очень долго («вечно»). Электрон излучает (испускает фотон) при переходе с одной стационарной орбиты на другую. Противоречие этих постулатов с законами классической физики особенно очевидно, если вспомнить, что при движении по криволинейной орбите заряженный электрон испытывает ускорение и обязан излучать электромагнитные волны. Бор также предложил условие, позволяющее отобрать стационарные орбиты. Для круговых орбит оно собственно и означало, что на длине орбиты должно укладываться целое число длин волн (условие Бора), причем длин волны электрона определялась по его импульсу в соответствии с формулой де Бройля: \[\frac{2 \pi \mathrm{r}}{\lambda}=\mathrm{n}(\mathrm{n} \in \mathrm{Z}) \Rightarrow \mathrm{r} \cdot \mathrm{p}=\frac{\mathrm{h}}{2 \pi} \cdot \mathrm{n}=\hbar \cdot \mathrm{n}.\] Если учесть условие равновесия электрона на орбите, то для атома водорода получим: \[\mathrm{m} \frac{\mathrm{v}^{2}}{\mathrm{r}}=\mathrm{k} \frac{\mathrm{e}^{2}}{\mathrm{r}^{2}} \Rightarrow \mathrm{r}=\frac{\mathrm{ke}^{2}}{\mathrm{mv}^{2}} \Rightarrow \mathrm{mvr}=\frac{\mathrm{ke} \mathrm{e}^{2}}{\mathrm{v}}=\hbar \mathrm{n},\] и поэтому скорость электрона на орбите и радиус орбиты равны \(\mathrm{v}=\frac{\mathrm{ke}^{2}}{\hbar \mathrm{n}}, \quad \mathrm{r}=\frac{\hbar^{2} \mathrm{n}^{2}}{\mathrm{mke}^{2}}\) . Значит, энергия электрона в атоме водорода на стационарной орбите \(\mathrm{E}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{m}^{2}}{2}-\frac{k \mathrm{e}^{2}}{\mathrm{r}}=-\frac{\mathrm{mk}^{2} \mathrm{e}^{4}}{2 \hbar^{2} \mathrm{n}^{2}}=\frac{\mathrm{E}_{1}}{\mathrm{n}^{2}}\) . Отметим, что численное значение \(\mathrm{E}_{1}=-\frac{\mathrm{mk}^{2} \mathrm{e}^{4}}{2 \hbar^{2}} \approx-13,6\) эВ. Значит, для ионизации атома водорода из состояния с наинизшей энергией (основного состояния) требуется энергия не меньше 13,6 эВ. Согласно второму постулату, электрон испустит фотон при переходе с одной орбиты на другую (с более низкой энергией). С учетом закона сохранения энергии и формулы Планка можно найти все возможные частоты фотонов, то есть спектр излучения атома водорода: \[v_{\mathrm{nn}^{\prime}}=\frac{\mathrm{E}_{\mathrm{n}}-\mathrm{E}_{\mathrm{n}^{\prime}}}{\mathrm{h}}=\frac{\mathrm{mk}^{2} \mathrm{e}^{4}}{4 \pi \hbar^{3}} \cdot\left(\frac{1}{\mathrm{n}^{\prime 2}}-\frac{1}{\mathrm{n}^{2}}\right) \equiv \mathrm{R} \cdot\left(\frac{1}{\mathrm{n}^{\prime 2}}-\frac{1}{\mathrm{n}^{2}}\right) .\] Величина \(\mathrm{R}=\frac{\mathrm{mk}^{2} \mathrm{e}^{4}}{4 \pi \hbar^{3}} \approx 3,29 \cdot 10^{15}\) Гц получила название постоянной Ридберга. Видно, что этот спектр - линейчатый (набор дискретных спектральных линий). Более того, для него очевидно работает принцип комбинации частот (ясно, что \(v_{\mathrm{nk}}=v_{\mathrm{nm}}+v_{\mathrm{mk}}\) ), а соответствующая формула для длин волн повторяет подобранные при обработке данных экспериментов формулы (типа формулы Бальмера). В случае разнообразного по составу, сильно нагретого вещества линии многих элементов уширяются (из-за эффекта Доплера, то есть из-за изменения частоты при тепловом движении источника), перекрываются и наблюдается практически непрерывный спектр излучения (как и в случае излучения несвязанных носителей заряда, испытывающих ускорение).