Изменение уровня жидкости. Перетекание

Задача 1

Условие

Кусок льда массой m = 380 г плавал, частично погрузившись в жидкость, налитую в мензурку. Определите плотность этой жидкости, если после того, как весь лёд растаял, уровень жидкости понизился на \Delta N = 10 делений шкалы. Плотность воды \rho = 1,0 г/см^3 . Цена деления шкалы мензурки C = 2 мл/дел .

Решение

12 1) Пусть: H — первоначальный уровень жидкости; h — конечная высота жидкости; h_{в} — высота воды из льда.

m_{обр в} = m_{л} \rho_{в} S h_{в} = m_{л} \implies h_{в} = \frac{m_{л}}{\rho_{в} S} \quad (*) \Delta h = H - (h + h_{в}) \implies \Delta h = H - h - h_{в} (H - h) = (\Delta h + h_{в}) \quad (1) \Delta h = \frac{C \Delta N}{S} \quad (2)

2) Так как масса содержимого в мензурке не изменилась, то \rho_{ж} g H = \rho_{ж} g h + \rho_{в} g h_{в} \rho_{ж} H = \rho_{ж} h + \rho_{в} h_{в} \rho_{ж} (H - h) = \rho_{в} h_{в} \quad (3)

3) Подставим в (3) выражения (1) и (2): \rho_{ж} (\Delta h + h_{в}) = \rho_{в} h_{в} \rho_{ж} \left( \frac{C \Delta N}{S} + h_{в} \right) = \rho_{в} h_{в} С учетом (*): \rho_{ж} \left( \frac{C \Delta N}{S} + \frac{m_{л}}{\rho_{в} S} \right) = \rho_{в} \frac{m_{л}}{\rho_{в} S} \rho_{ж} \left( C \Delta N + \frac{m_{л}}{\rho_{в}} \right) = m_{л} \rho_{ж} \left( \frac{C \Delta N \rho_{в} + m_{л}}{\rho_{в}} \right) = m_{л} \rho_{ж} = \frac{m_{л} \rho_{в}}{C \Delta N \rho_{в} + m_{л}} \rho_{ж} = \frac{0,38 \cdot 10^3}{2 \cdot 10^{-6} \cdot 10 \cdot 10^3 + 0,38} = 0,95 \cdot 10^3 кг/м^3 Проверка размерности: [\rho_{ж}] = \frac{кг \cdot \frac{кг}{м^3}}{\frac{м^3}{дел} \cdot дел \cdot \frac{кг}{м^3} + кг} = \frac{кг \cdot \frac{кг}{м^3}}{кг} = \frac{кг}{м^3}

Ответ 0,95 \cdot 10^3 кг/м^3 .