Изменение уровня жидкости. Перетекание

Задача 3

Условие

Сосуд разделён на два одинаковых колена, правое заполнено водой, а левое — маслом и водой. На поверхность воды в правом колене аккуратно кладут тонкий массивный поршень, и масло начинает переливаться в правое колено. Какая масса должна быть у поршня, чтобы после достижения равновесия он оказался ровно посередине между нижней и верхней границами масла в левом колене? Объём масла 1 л. Плотность воды \rho_{в} = 1,0 г/см^3 . Плотность масла \rho_{м} = 0,8 г/см^3 .

14 Решение

1. Положение системы до того как положили поршень: P_A = P_B \rho_{м} g H = \rho_{в} g (H - h) 0,8 H = H - h \implies h = 0,2 H \implies h = \frac{1}{5} H \quad (*)

15 2. Положение системы после того как положили поршень:

16 Поршень будет создавать дополнительное давление на воду, значит масло начнет переливаться через перегородку и окажется справа над поршнем. * Поршень кладут медленно, значит в течение всего времени масло доходит до края. ** Суммарный объем жидкости в системе не изменился, поэтому разность высот между левым и правым коленами по-прежнему h .

Высота масла в правом колене (\frac{l}{2} - h) . Т.к. площади сечения колен одинаковые, то: H = l + \left( \frac{l}{2} - h \right) H = \frac{3l}{2} - h Используя (*), получим: H = \frac{3l}{2} - \frac{H}{5} \implies H + \frac{H}{5} = \frac{3l}{2} \implies \frac{6H}{5} = \frac{3l}{2} \frac{2H}{5} = \frac{l}{2} \implies l = \frac{4H}{5} \quad (**)

Пусть M — масса поршня, а площадь сечения частей S , тогда равенство давлений на уровне CD: \rho_{м} g l = \rho_{м} g \left(\frac{l}{2} - h\right) + \frac{Mg}{S} + \rho_{в} g \frac{l}{2} Подставив (*) и (**), получим: \rho_{м} \frac{4H}{5} = \rho_{м} \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{4H}{5} - \frac{H}{5} \right) + \frac{M}{S} + \rho_{в} \frac{1}{2} \cdot \frac{4H}{5} \rho_{м} \frac{4H}{5} = \rho_{м} \frac{H}{5} + \frac{M}{S} + \rho_{в} \frac{2H}{5} \rho_{м} \frac{3H}{5} - \rho_{в} \frac{2H}{5} = \frac{M}{S} \left( \frac{3\rho_{м} - 2\rho_{в}}{5} \right) H S = M M = \frac{(3\rho_{м} - 2\rho_{в})}{5} V = \frac{(3 \cdot 800 - 2 \cdot 1000)}{5} \cdot 0,001 = 0,08 кг = 80 г

Ответ 80 г.